Matemáticas · DESDE CERO
Trigonometría
Resuelve triángulos, conecta grados con radianes y reconoce identidades.
Aprender y practicar este tema →Qué vas a comprender
- Calcular razones trigonométricas en triángulos rectángulos.
- Usar grados, radianes y circunferencia unitaria.
- Aplicar identidades, leyes del seno y coseno en casos iniciales.
Las ideas, paso a paso
Razones de un triángulo
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa se opone al ángulo de 90° y es el lado mayor. Respecto de un ángulo agudo θ, el seno es cateto opuesto/hipotenusa, el coseno es cateto adyacente/hipotenusa y la tangente es opuesto/adyacente.
Los nombres opuesto y adyacente dependen del ángulo elegido. Los lados de triángulos semejantes cambian por el mismo factor, por lo que sus razones trigonométricas no cambian. Pitágoras relaciona los lados: hipotenusa²=cateto₁²+cateto₂².
Ángulos y periodicidad
Una vuelta completa equivale a 360° o 2π radianes. Para convertir grados a radianes multiplica por π/180; para la conversión inversa usa 180/π. El radián relaciona longitud de arco y radio: θ=s/r.
En la circunferencia unitaria, el punto asociado a θ es (cos θ,sen θ). Los signos dependen del cuadrante. Seno y coseno repiten sus valores cada 2π; la tangente cada π donde está definida. Los argumentos del explorador de función seno están en radianes.
Identidades y triángulos oblicuos
La identidad sen²θ+cos²θ=1 proviene de la circunferencia unitaria. Si cos θ≠0, tan θ=sen θ/cos θ. Despejar una raíz requiere considerar el signo según el cuadrante: cos²θ=9/25 no basta para elegir entre ±3/5.
En cualquier triángulo, la ley de cosenos c²=a²+b²−2ab cos C conecta un ángulo con los dos lados que lo forman. La ley de senos a/sen A=b/sen B=c/sen C relaciona lados con ángulos opuestos. Elegir la ley depende de los datos disponibles.
Ejemplos resueltos
Sigue el razonamiento
En un triángulo de catetos 6 y 8, la hipotenusa es √(36+64)=10. Si θ se opone al cateto 6, sen θ=6/10=3/5.
Para ese mismo θ, cos θ=8/10=4/5 y tan θ=6/8=3/4. Si eliges el otro ángulo agudo, se intercambian los catetos.
Sigue el razonamiento
150°=150π/180=5π/6 rad. Ese ángulo está en el segundo cuadrante, con coseno negativo y seno positivo.
Su ángulo de referencia es 30°. Por eso sen150°=1/2 y cos150°=−√3/2.
Ejercicios de opción múltiple
Resuelve primero. Después abre la explicación para comparar tu razonamiento. Son ejercicios originales de práctica, con cuatro alternativas y una respuesta correcta.
1. En un triángulo rectángulo, el cateto opuesto a θ mide 5 y la hipotenusa 13. ¿Cuánto es sen θ?
- 5/12
- 12/13
- 5/13
- 13/5
Ver respuesta y solución paso a paso
C. 5/13
- sen θ=opuesto/hipotenusa.
- Sustituye 5/13.
Por qué sí o por qué no
A. Esa es la tangente.
B. Ese es el coseno, porque el otro cateto mide 12.
C. El seno es opuesto entre hipotenusa.
D. Es el recíproco del seno.
2. ¿A cuántos radianes equivalen 135°?
- 3π/4
- 4π/3
- 3π/2
- π/4
Ver respuesta y solución paso a paso
A. 3π/4
- 135/180=3/4.
- El ángulo es 3π/4 rad.
Por qué sí o por qué no
A. 135π/180 se simplifica a 3π/4.
B. Equivale a 240°, no a 135°.
C. Equivale a 270°.
D. Equivale a 45°.
3. Si sen θ=4/5 y θ está en el segundo cuadrante, ¿cuánto es cos θ?
- −4/5
- 3/5
- −3/5
- 9/25
Ver respuesta y solución paso a paso
C. −3/5
- cos²θ=1−16/25=9/25.
- En el segundo cuadrante cos θ<0, así que cos θ=−3/5.
Por qué sí o por qué no
A. No intercambia seno y coseno conservando la identidad.
B. Ignora el signo del coseno en el segundo cuadrante.
C. La identidad da magnitud 3/5 y el cuadrante exige signo negativo.
D. Es cos²θ, falta raíz y signo.
Fuentes para estudiar y verificar
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