Exponenciales y logaritmos

La base y su exponente

Una función exponencial tiene la variable en el exponente: f(x)=aˣ, con a>0 y a≠1. Sus valores son positivos. Si a>1, la función crece; si 0<a<1, decrece. Siempre pasa por (0,1).

El logaritmo log_a b es el exponente al que se eleva a para obtener b. Se exige a>0, a≠1 y b>0. Así, log₂8=3 equivale a 2³=8. El logaritmo no es una división entre los números que aparecen en la notación.

Leyes y ecuaciones

Para argumentos positivos, log_a(uv)=log_a u+log_a v y log_a(u/v)=log_a u−log_a v. También log_a(u^r)=r log_a u cuando las expresiones consideradas están definidas. No existe una regla general que separe el logaritmo de una suma.

Si dos logaritmos de la misma base son iguales y sus argumentos son positivos, sus argumentos son iguales. Antes de resolver una ecuación logarítmica escribe sus restricciones. Transformar productos o elevar potencias sin conservar el dominio puede introducir candidatas inválidas.

Modelos y comparación de escalas

Un modelo N(t)=N₀rᵗ multiplica la cantidad por el mismo factor r en cada intervalo de tiempo. Un aumento de 20% usa r=1.20; una disminución de 20% usa r=0.80. El crecimiento lineal suma la misma cantidad, mientras el exponencial multiplica por la misma razón.

Para despejar t cuando no hay potencias evidentes, toma logaritmos: t=ln(N/N₀)/ln r, con cantidades positivas y r≠1. Las unidades de t corresponden al periodo del factor. Una escala logarítmica convierte razones multiplicativas iguales en distancias aditivas iguales.

Sigue el razonamiento

Resolver 3ˣ=81 consiste en expresar 81 como potencia de 3: 81=3⁴. Como la función exponencial de base 3 es uno a uno, x=4.

La misma relación se escribe log₃81=4. La base 3 permanece fija; el resultado del logaritmo es el exponente.

Sigue el razonamiento

Resuelve log₂(x−1)+log₂(x−3)=3. El dominio exige x>3. La suma se combina en log₂((x−1)(x−3))=3.

Entonces (x−1)(x−3)=8 y x²−4x−5=0. Las candidatas son 5 y −1; sólo x=5 cumple x>3.

1. ¿Cuánto es log₂32?

1. 16
2. 5
3. 2
4. 1/5

2. Resuelve 2^(x+1)=16.

1. x=4
2. x=3
3. x=8
4. x=5

3. Un valor de 500 aumenta 10% cada año en un modelo compuesto. ¿Cuál es el valor después de dos años?

1. 1000
2. 600
3. 550
4. 605