Matemáticas · DESDE CERO
Números reales y operaciones
Conecta fracciones, signos, potencias y raíces para calcular con sentido.
Aprender y practicar este tema →Qué vas a comprender
- Distinguir números racionales e irracionales.
- Operar con signos y jerarquía.
- Aplicar exponentes y radicales respetando sus condiciones.
Las ideas, paso a paso
Construye el número antes de operar
Los números naturales sirven para contar; al añadir negativos y cero obtenemos los enteros. Los racionales son cocientes de enteros con denominador distinto de cero. Su expresión decimal termina o es periódica. Un irracional, como √2, no tiene expresión decimal finita ni periódica. Racionales e irracionales forman los reales.
Para sumar fracciones se necesita una unidad común: busca un denominador común y transforma también los numeradores. Para multiplicar, multiplica numeradores y denominadores; para dividir por una fracción no nula, multiplica por su recíproco. Un signo negativo indica dirección u oposición, no tamaño absoluto.
Ordena operaciones y potencias
Los paréntesis delimitan grupos. Después se resuelven potencias y raíces, luego multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha, y finalmente sumas y restas de izquierda a derecha. Multiplicar no tiene prioridad sobre dividir cuando están al mismo nivel.
Si a ≠ 0, a^m/a^n = a^(m−n), a^0 = 1 y a^(−n) = 1/a^n. Los exponentes se suman al multiplicar potencias de la misma base; no se suman las bases. Los paréntesis deciden si un signo negativo forma parte de la base.
Raíces, valor absoluto y estimación
La raíz cuadrada principal √a es el número no negativo cuyo cuadrado vale a, para a ≥ 0 en los reales. Por eso √(x²) = |x|, no siempre x. El valor absoluto expresa distancia al cero: nunca es negativo.
Para simplificar una raíz, separa un factor que sea cuadrado perfecto. Por ejemplo, √(36 × 2) = 6√2. Las raíces no se distribuyen sobre sumas: √(a+b) no suele ser √a+√b. Estimar entre cuadrados consecutivos permite detectar resultados imposibles sin calculadora.
Ejemplos resueltos
Sigue el razonamiento
Para calcular −3/4 + 5/6, usa el denominador común 12. La primera cantidad es −9/12 y la segunda 10/12.
La suma es 1/12: el aporte positivo supera al negativo por una doceava parte. No sumes los denominadores, porque cambiarías el tamaño de la unidad.
Sigue el razonamiento
En −2² + (−2)², la primera potencia tiene base 2 y el signo menos queda fuera: −2² = −4. La segunda tiene base −2: (−2)² = 4.
La suma es 0. En cambio, (−2)³ = −8 porque el número de factores negativos es impar.
Ejercicios de opción múltiple
Resuelve primero. Después abre la explicación para comparar tu razonamiento. Son ejercicios originales de práctica, con cuatro alternativas y una respuesta correcta.
1. ¿Cuál de estos números es irracional?
- √7
- −4
- 0.125
- 2/9
Ver respuesta y solución paso a paso
A. √7
- Los enteros, decimales finitos y fracciones dadas son racionales.
- √7 no puede expresarse como cociente de enteros: es irracional.
Por qué sí o por qué no
A. 7 no es cuadrado de un entero y su raíz no es racional.
B. Es entero y equivale a −4/1.
C. Es decimal finito: equivale a 1/8.
D. Ya está expresado como cociente de enteros.
2. Evalúa 18 − 2 × 3².
- 144
- 0
- 48
- 12
Ver respuesta y solución paso a paso
B. 0
- 3² = 9.
- 18 − 2 × 9 = 18 − 18 = 0.
Por qué sí o por qué no
A. Elevar toda la resta al cuadrado cambia la expresión.
B. Primero 3² = 9, luego 2 × 9 = 18 y finalmente 18 − 18 = 0.
C. Restar antes de multiplicar rompe la jerarquía.
D. Usar 3 en lugar de 3² omite la potencia.
3. Si x = −7, ¿cuánto es √(x²)?
- ±7
- −7
- 49
- 7
Ver respuesta y solución paso a paso
D. 7
- x² = (−7)² = 49.
- √49 = 7.
Por qué sí o por qué no
A. La expresión √49 tiene un valor; la ecuación y² = 49 tiene dos soluciones.
B. La raíz principal no es negativa.
C. Es x² antes de aplicar la raíz.
D. La raíz principal de 49 es 7, equivalente a |−7|.
Fuentes para estudiar y verificar
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