Matemáticas · DESDE CERO
Álgebra y factorización
Traduce expresiones, desarrolla productos y simplifica sin perder restricciones.
Aprender y practicar este tema →Qué vas a comprender
- Reconocer términos semejantes y operaciones con polinomios.
- Factorizar productos notables y trinomios.
- Simplificar expresiones racionales sin alterar su dominio.
Las ideas, paso a paso
Del lenguaje a los términos
Una expresión algebraica representa cantidades y operaciones mediante números y letras. En 5x², el coeficiente es 5, la variable es x y el exponente es 2. Dos términos son semejantes si tienen la misma parte literal, incluidos sus exponentes.
La propiedad distributiva a(b+c)=ab+ac permite quitar paréntesis. Un signo menos delante de un paréntesis equivale a multiplicar todo el grupo por −1. Al evaluar, sustituye cada aparición de la variable por el mismo número y conserva los paréntesis si es negativo.
Reconoce productos y factores
Desarrollar convierte un producto en suma; factorizar recorre el camino inverso. Siempre busca primero un factor común. La diferencia de cuadrados a²−b²=(a−b)(a+b) exige dos cuadrados separados por una resta.
El cuadrado de una suma es (a+b)²=a²+2ab+b². El término central no desaparece. Un trinomio x²+bx+c se factoriza buscando dos números que sumen b y cuyo producto sea c, si tales números son adecuados en el conjunto utilizado.
Fracciones algebraicas con dominio
En una expresión racional, el denominador no puede ser cero. Factoriza antes de cancelar: sólo se cancelan factores que multiplican todo el numerador y todo el denominador, no términos dentro de sumas.
Una simplificación conserva los valores de la expresión en su dominio original. Si cancelas x−2, la fórmula reducida podría estar definida en x=2, pero la expresión original sigue excluyendo ese valor. Para sumar fracciones algebraicas usa denominador común como en aritmética.
Ejemplos resueltos
Sigue el razonamiento
Reduce 3x − 2(4−x) + 5. Distribuye −2: 3x − 8 + 2x + 5.
Agrupa términos semejantes: (3x+2x)+(−8+5)=5x−3. Si x=2, ambas expresiones originales y reducidas valen 7.
Sigue el razonamiento
Factoriza x²−5x+6. Busca dos números con suma −5 y producto +6: −2 y −3.
Así, x²−5x+6=(x−2)(x−3). Al multiplicar se recuperan x²−3x−2x+6 y el término central −5x.
Ejercicios de opción múltiple
Resuelve primero. Después abre la explicación para comparar tu razonamiento. Son ejercicios originales de práctica, con cuatro alternativas y una respuesta correcta.
1. Reduce 7a − 2b − 3a + 5b.
- 7ab
- 4a + 3b
- 4a − 7b
- 7a + 2b
Ver respuesta y solución paso a paso
B. 4a + 3b
- (7−3)a + (−2+5)b.
- El resultado es 4a + 3b.
Por qué sí o por qué no
A. Sumar términos no multiplica las variables.
B. 7a − 3a = 4a y −2b + 5b = 3b.
C. Los signos de los términos con b se combinaron incorrectamente.
D. No se restaron los 3a y se sumaron mal los b.
2. ¿Cuál es la factorización completa de 8x²+12x?
- 4x(2x+3)
- 4(2x²+3)
- x(8x+12x)
- (8x+12)²
Ver respuesta y solución paso a paso
A. 4x(2x+3)
- El máximo divisor de 8 y 12 es 4.
- Ambos términos tienen x; al extraer 4x quedan 2x y 3.
Por qué sí o por qué no
A. 4x es el máximo factor común de ambos términos.
B. Se perdió la x del segundo término.
C. Al desarrollar produciría 8x²+12x².
D. Es un cuadrado distinto y genera otros coeficientes.
3. Simplifica (x²−16)/(x−4) indicando la restricción original.
- x−4, con x≠4
- x+4, para todo real
- x+4, con x≠4
- x²−4, con x≠16
Ver respuesta y solución paso a paso
C. x+4, con x≠4
- x²−16=(x−4)(x+4).
- Cancela x−4 para x≠4; queda x+4.
Por qué sí o por qué no
A. La diferencia de cuadrados deja el factor x+4.
B. La simplificación no elimina la exclusión x=4 de la expresión original.
C. Se cancela x−4 sólo donde no es cero.
D. No se divide cada exponente ni se cambia arbitrariamente la restricción.
Fuentes para estudiar y verificar
Revisión del contenido: . Preparación independiente de CursoTube. Las guías públicas de DGAE de 2024 orientan el temario; el instructivo 2026 confirma el formato del proceso. Consulta en Tu Sitio la guía correspondiente a tu convocatoria.