Límites y derivadas

Acercarse no siempre es sustituir

El límite de f(x) cuando x se acerca a a describe a qué valor se aproximan las salidas para entradas cercanas a a. No exige evaluar exactamente en a. Si la función es continua allí, el límite coincide con f(a).

Para que exista un límite bilateral finito, los límites por izquierda y derecha deben existir y coincidir. Un resultado 0/0 al sustituir no es una respuesta: indica una forma indeterminada que exige analizar o simplificar. En una fracción factorizable se puede cancelar un factor para x distinto del punto y estudiar el comportamiento cercano.

Derivar es medir cambio local

La derivada f′(a) es el límite del cociente (f(a+h)−f(a))/h cuando h→0, si existe. Interpreta la pendiente de la tangente y la tasa instantánea de cambio. La tasa media usa dos puntos distintos; la derivada aproxima el cambio en una vecindad pequeña.

Las reglas básicas incluyen (xⁿ)′=nx^(n−1), derivada de una constante igual a cero y derivada de una suma como suma de derivadas. El producto necesita f′g+fg′; no basta multiplicar derivadas. En una composición, la regla de la cadena multiplica la derivada exterior por la interior.

Usa la derivada para decidir

Si f′ es positiva en un intervalo, f crece allí; si es negativa, decrece. Un punto crítico interior aparece donde f′=0 o donde f′ no existe y f sí existe. No todo punto crítico es máximo o mínimo: hay que analizar el cambio de signo o usar otras condiciones.

Si f′ cambia de positiva a negativa hay máximo local; de negativa a positiva, mínimo local. Una segunda derivada positiva en un punto crítico indica mínimo local y negativa indica máximo local, bajo las condiciones habituales de diferenciabilidad cercanas. En optimización sobre intervalos cerrados también se revisan los extremos.

Sigue el razonamiento

Calcula el límite de (x²−4)/(x−2) cuando x→2. Sustituir directamente produce 0/0. Para x≠2, factoriza y cancela: (x−2)(x+2)/(x−2)=x+2.

Cuando x se acerca a 2, x+2 se acerca a 4. El límite es 4, aunque la fracción original no esté definida en x=2.

Sigue el razonamiento

Para f(x)=x², el cociente incremental es ((a+h)²−a²)/h=(2ah+h²)/h=2a+h para h≠0.

Al tomar h→0 queda f′(a)=2a. En a=3 la pendiente es 6. La tangente pasa por (3,9): y−9=6(x−3).

1. ¿Cuál es el límite de 3x+1 cuando x→2?

1. 7
2. 6
3. 2
4. No existe

2. ¿Cuál es la derivada de f(x)=4x³−2x+7?

1. f′(x)=4x²−2
2. f′(x)=12x²−2+7
3. f′(x)=12x²−2
4. f′(x)=12x³−2x

3. ¿Dónde tiene mínimo f(x)=x²−4x+1 en los reales?

1. En x=2, con valor −3.
2. En x=−2, con valor 13.
3. En x=0, con valor 1.
4. No tiene mínimo.