Integrales

Deshacer una derivada

Una antiderivada o primitiva de f es una función F cuya derivada es f. La integral indefinida reúne todas las primitivas en un intervalo: ∫f(x)dx=F(x)+C. La constante importa porque funciones que difieren en una constante tienen la misma derivada.

La regla de potencias es ∫xⁿ dx=x^(n+1)/(n+1)+C, para n≠−1 en un intervalo donde la expresión esté definida. Para n=−1 se usa ∫(1/x)dx=ln|x|+C en intervalos que no cruzan cero. La integral de una suma es suma de integrales y las constantes multiplicativas pueden salir.

Acumular entre dos límites

La integral definida ∫ de a a b f(x)dx representa una acumulación con signo. Para una función continua, si F es primitiva de f, el teorema fundamental del cálculo permite evaluarla como F(b)−F(a). El orden superior menos inferior es esencial.

Si a=b, la integral vale cero. Cambiar el orden de los límites cambia el signo. Cuando f es no negativa, la integral coincide con el área bajo la curva; si f es negativa, su contribución es negativa. Una integral definida da un número, no una familia con C arbitraria.

Área total y condiciones iniciales

Para obtener área geométrica entre una curva y el eje x, separa el intervalo en los ceros y suma magnitudes de las integrales en cada tramo. La integral de |f| representa esa área; la de f conserva el signo. El desplazamiento integra velocidad y la distancia recorrida integra rapidez |v|.

Una condición inicial determina C. Si F′=f y se conoce F(a)=k, sustituye ese dato en la familia de primitivas para despejar la constante. En sustitución, identifica una expresión interior y su derivada: un cambio de variable correcto transforma tanto el integrando como el diferencial.

Sigue el razonamiento

Integra 6x²−4x+3. Aumenta cada exponente en uno y divide por el nuevo exponente: 2x³−2x²+3x+C.

Comprueba derivando: 6x²−4x+3. La revisión devuelve exactamente el integrando, por lo que la primitiva es correcta.

Sigue el razonamiento

Evalúa ∫ de 1 a 3 2x dx. Una primitiva es x². Por tanto la integral es 3²−1²=9−1=8.

Si se usara x²+C, aparecería (9+C)−(1+C)=8: las constantes se cancelan. Invertir los límites produciría −8.

1. ¿Cuál es la integral indefinida de 4x³?

1. x⁴+C
2. 12x²+C
3. 4x⁴+C
4. x⁴

2. ¿Cuánto vale la integral de 3 entre x=0 y x=4?

1. 7
2. 3
3. 4
4. 12

3. ¿Cuál es el área geométrica entre y=x y el eje x, desde −2 hasta 2?

1. 8
2. 0
3. 2
4. 4