Geometría analítica y cónicas

Puntos y rectas en coordenadas

Entre A(x₁,y₁) y B(x₂,y₂), la distancia es √((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²) y el punto medio promedia cada coordenada. La pendiente m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁) mide cambio vertical por cambio horizontal cuando x₂≠x₁. Una recta vertical no tiene pendiente real definida.

La forma punto-pendiente y−y₁=m(x−x₁) determina una recta con un punto y su pendiente. Dos rectas no verticales paralelas tienen la misma pendiente; si son perpendiculares, el producto de pendientes es −1. El par horizontal-vertical también es perpendicular y se trata aparte.

Circunferencia y parábola

La circunferencia reúne puntos a distancia fija r de un centro (h,k). Su ecuación es (x−h)²+(y−k)²=r², con r>0. En una ecuación desarrollada, completar cuadrados permite recuperar centro y radio.

Una parábola reúne puntos equidistantes de un foco y una directriz. En (x−h)²=4p(y−k), el vértice es (h,k), el foco (h,k+p) y la directriz y=k−p. El signo de p determina apertura hacia arriba o abajo; p≠0 para una parábola no degenerada.

Elipse, hipérbola y clasificación

La elipse x²/a²+y²/b²=1, con a>b>0, tiene eje mayor horizontal y focos (±c,0), donde c²=a²−b². La suma de distancias a los focos es constante. Si el denominador mayor está bajo y², el eje mayor es vertical.

La hipérbola x²/a²−y²/b²=1 tiene dos ramas, eje transversal horizontal y focos (±c,0), con c²=a²+b². Sus asíntotas son y=±(b/a)x. En ecuaciones sin término xy, cuadrados con igual signo sugieren elipse o circunferencia y con signos opuestos hipérbola; siempre revisa el resto para descartar casos degenerados o vacíos.

Sigue el razonamiento

La recta por (1,2) y (3,6) tiene m=(6−2)/(3−1)=2. Con el primer punto: y−2=2(x−1), por lo que y=2x.

El punto medio es ((1+3)/2,(2+6)/2)=(2,4), que también pertenece a la recta.

Sigue el razonamiento

En x²+y²−4x+6y−12=0, agrupa (x²−4x)+(y²+6y)=12. Completa con 4 y 9 en ambos lados.

Queda (x−2)²+(y+3)²=25: centro (2,−3), radio 5. El lado derecho es el radio al cuadrado.

1. ¿Cuál es la distancia entre (−1,2) y (2,6)?

1. 25
2. 7
3. 5
4. √5

2. En (x+2)²+(y−1)²=16, ¿cuáles son centro y radio?

1. Centro (2,−1), radio 4.
2. Centro (−2,1), radio 4.
3. Centro (−2,1), radio 16.
4. Centro (2,1), radio 8.

3. ¿Cuáles son los focos de x²/25+y²/9=1?

1. (−4,0) y (4,0)
2. (−5,0) y (5,0)
3. (0,−4) y (0,4)
4. (−√34,0) y (√34,0)