Matemáticas · DESDE CERO
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
Modela situaciones y comprueba soluciones de igualdades y desigualdades.
Aprender y practicar este tema →Qué vas a comprender
- Resolver ecuaciones lineales conservando equivalencias.
- Interpretar intervalos y desigualdades.
- Resolver sistemas y distinguir solución única, ninguna o infinitas.
Las ideas, paso a paso
La igualdad como equilibrio
Una ecuación pide los valores que vuelven verdadera una igualdad. Puedes sumar o restar lo mismo a ambos lados, y multiplicar o dividir ambos lados por una misma cantidad no nula. Estas operaciones conservan las soluciones. Una identidad es verdadera para todos los valores de su dominio.
Para resolver una ecuación con paréntesis, distribuye, reduce términos semejantes y aísla la incógnita. Al modelar, define primero qué representa la variable y en qué unidad se expresa. La comprobación consiste en sustituir el resultado en la igualdad original.
Desigualdades e intervalos
Una inecuación describe un conjunto de valores. Sumar la misma cantidad a ambos lados conserva el orden. Multiplicar o dividir por un número negativo invierte el símbolo: por ejemplo, 2<5 se transforma en −2>−5.
En notación de intervalos, un corchete incluye el extremo y un paréntesis lo excluye. Los símbolos < y > excluyen la frontera; ≤ y ≥ la incluyen. Una doble desigualdad exige satisfacer ambas condiciones simultáneamente.
Dos condiciones al mismo tiempo
Una solución de un sistema satisface todas sus ecuaciones. En dos variables, cada ecuación lineal representa una recta: pueden cruzarse en un punto, ser paralelas distintas o coincidir. Esto produce una solución, ninguna o infinitas.
La sustitución despeja una variable y la introduce en otra ecuación. La eliminación suma ecuaciones multiplicadas por constantes para cancelar una incógnita. En tres variables se aplica la misma idea sucesivamente; si se usa Cramer, se requiere determinante distinto de cero para una solución única.
Ejemplos resueltos
Sigue el razonamiento
Una libreta cuesta x pesos. Tres libretas y un cargo fijo de 12 pesos cuestan 87: 3x+12=87.
Resta 12: 3x=75. Divide entre 3: x=25 pesos. Comprueba: 3(25)+12=87.
Sigue el razonamiento
Resuelve −3x+2≤11. Resta 2: −3x≤9. Divide por −3 e invierte el símbolo: x≥−3.
Comprueba el extremo: −3(−3)+2=11. Prueba x=0: 2≤11 es verdadero. Por ello el conjunto se extiende a la derecha desde −3, incluido.
Ejercicios de opción múltiple
Resuelve primero. Después abre la explicación para comparar tu razonamiento. Son ejercicios originales de práctica, con cuatro alternativas y una respuesta correcta.
1. Resuelve 5x−7=18.
- x=25
- x=11/5
- x=5
- x=−5
Ver respuesta y solución paso a paso
C. x=5
- 5x=18+7=25.
- x=25/5=5; 5(5)−7=18.
Por qué sí o por qué no
A. Es el valor de 5x, todavía falta dividir.
B. Se restó 7 donde había que sumar 7.
C. Al sumar 7 queda 5x=25 y dividir entre 5 da 5.
D. Se cambió el signo sin una operación equivalente.
2. Resuelve −2x>8.
- x>−4
- x<−4
- x<4
- x≥−4
Ver respuesta y solución paso a paso
B. x<−4
- Divide ambos lados por −2.
- Invierte > a <: x<−4.
Por qué sí o por qué no
A. Se olvidó invertir el orden al dividir por negativo.
B. Dividir entre −2 invierte el signo.
C. 8/(−2) es −4, no 4.
D. El signo es estricto y la frontera no se incluye.
3. Resuelve x+y=7 y x−y=1.
- (7,1)
- (3,4)
- (4,3)
- (1,6)
Ver respuesta y solución paso a paso
C. (4,3)
- 2x=8 implica x=4.
- 4+y=7 implica y=3.
Por qué sí o por qué no
A. Su suma es 8, no 7.
B. Satisface la suma, pero x−y=−1.
C. Sumar da 2x=8; después y=3.
D. La diferencia es −5, no 1.
Fuentes para estudiar y verificar
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