Matemáticas · DESDE CERO
Ecuaciones cuadráticas
Conecta raíces, discriminante y modelos para elegir soluciones válidas.
Aprender y practicar este tema →Qué vas a comprender
- Resolver cuadráticas por factorización y fórmula general.
- Interpretar el discriminante y raíces reales.
- Seleccionar soluciones admisibles en problemas y ecuaciones transformadas.
Las ideas, paso a paso
Del producto cero a las raíces
Una ecuación cuadrática tiene forma ax²+bx+c=0 con a≠0. Si un producto de números reales vale cero, al menos uno de sus factores es cero. Esta propiedad permite resolver una cuadrática factorizada.
Antes de factorizar, deja cero en un lado. Dividir por x puede hacer perder la solución x=0, por lo que conviene factorizar un factor común. Las raíces son valores de x, mientras que los factores son expresiones que incluyen x.
El discriminante anticipa las soluciones
La fórmula general es x=(−b±√(b²−4ac))/(2a). El discriminante Δ=b²−4ac decide el número de raíces reales: dos distintas si Δ>0, una raíz doble si Δ=0 y ninguna real si Δ<0.
En la gráfica y=ax²+bx+c, las raíces son los cortes con el eje x. El coeficiente a indica apertura hacia arriba si es positivo y hacia abajo si es negativo. Un discriminante negativo no significa que la función no exista: significa que no cruza el eje x en los reales.
Modela y filtra soluciones
Un modelo cuadrático puede tener dos raíces algebraicas y una sola respuesta contextual. Una longitud debe ser positiva; un tiempo medido después del inicio suele ser no negativo. Estas restricciones se aplican después de resolver y también al definir el modelo.
Elevar al cuadrado una ecuación puede introducir soluciones extrañas, porque dos números opuestos tienen el mismo cuadrado. Si había raíces o denominadores, comprueba cada candidata en la ecuación original. Una condición necesaria obtenida al transformar no siempre es suficiente.
Ejemplos resueltos
Sigue el razonamiento
Resuelve x²−7x+12=0. Los números −3 y −4 suman −7 y multiplican 12, así que (x−3)(x−4)=0.
Por el producto cero, x−3=0 o x−4=0. Las soluciones son x=3 y x=4. Ambas satisfacen la ecuación original.
Sigue el razonamiento
En 2x²−3x−2=0, a=2, b=−3, c=−2. Δ=9+16=25.
La fórmula da x=(3±5)/4: x=2 o x=−1/2. Verifica que el denominador es 2a=4 y que −b=3.
Ejercicios de opción múltiple
Resuelve primero. Después abre la explicación para comparar tu razonamiento. Son ejercicios originales de práctica, con cuatro alternativas y una respuesta correcta.
1. Resuelve x²−9=0 en los reales.
- x=9
- Sólo x=3
- x=−3 o x=3
- x=−9 o x=9
Ver respuesta y solución paso a paso
C. x=−3 o x=3
- (x−3)(x+3)=0.
- Cada factor puede anularse: x=3 o x=−3.
Por qué sí o por qué no
A. 9² no vale 9.
B. Se perdió la raíz negativa de la ecuación.
C. x²=9 tiene dos raíces opuestas.
D. Se confundió la raíz con el radicando.
2. ¿Cuántas raíces reales distintas tiene x²−4x+4=0?
- Una
- Dos
- Ninguna
- Cuatro
Ver respuesta y solución paso a paso
A. Una
- a=1,b=−4,c=4.
- Δ=16−16=0: una raíz real distinta, x=2.
Por qué sí o por qué no
A. Δ=16−16=0; la raíz x=2 es doble.
B. Las dos expresiones de la fórmula coinciden.
C. El discriminante no es negativo.
D. El grado dos impide cuatro raíces distintas.
3. Un rectángulo tiene lados x y x+2 metros y área 24 m². ¿Cuál es el ancho x?
- −6 m
- 4 m
- 6 m
- 12 m
Ver respuesta y solución paso a paso
B. 4 m
- x(x+2)=24 da x=4 o x=−6.
- x>0 obliga a x=4 m; el largo es 6 m.
Por qué sí o por qué no
A. Es raíz algebraica, pero no longitud válida.
B. x²+2x−24=(x+6)(x−4); sólo 4 es positivo.
C. 6×8=48, no 24.
D. Es la mitad del área numérica, sin relación con los lados.
Fuentes para estudiar y verificar
Revisión del contenido: . Preparación independiente de CursoTube. Las guías públicas de DGAE de 2024 orientan el temario; el instructivo 2026 confirma el formato del proceso. Consulta en Tu Sitio la guía correspondiente a tu convocatoria.