Derivación implícita y derivadas sucesivas

Desde cero: y también depende de x

Una derivada expresa la tasa instantánea de cambio de una función respecto de su variable. Usaremos d(x^n)/dx = nx^(n−1), derivada de una constante igual a cero, suma de derivadas y regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′.

Una relación implícita conecta x e y sin despejar y, por ejemplo x² + y² = 25. Para derivarla en una rama donde y es función diferenciable de x, trata y como y(x). La regla de la cadena da d(y^n)/dx = ny^(n−1)y′. El factor y′ es indispensable.

Después de derivar ambos miembros, reúne los términos con y′ y despeja si su coeficiente no es cero. Para la circunferencia, 2x + 2yy′ = 0 da y′ = −x/y cuando y ≠ 0. No afirmes que la circunferencia completa sea una sola función: se trabaja localmente en una rama.

Derivadas sucesivas y concavidad

La segunda derivada f″ es la derivada de f′; mide cómo cambia la primera tasa. Las derivadas sucesivas se obtienen repitiendo el proceso: f‴ es la derivada de f″. Para polinomios aplica la regla de potencias en cada etapa.

Si f″ es positiva en un intervalo, f′ crece y la gráfica tiene concavidad hacia arriba; si f″ es negativa, la concavidad es hacia abajo. Un punto de inflexión requiere un cambio de concavidad en un punto de la curva. Que f″(a) = 0 sólo propone un candidato; no garantiza el cambio.

Por ejemplo, f(x) = x³ tiene f″(x) = 6x y cambia de signo en cero. En cambio x⁴ tiene f″ = 12x², no negativa a ambos lados de cero: no hay inflexión allí. El signo de f′ indica crecimiento de f, y el de f″ concavidad; son conclusiones distintas.

Normales, velocidad y aceleración

La recta tangente en (a,f(a)) tiene pendiente f′(a) cuando ésta es finita. La recta normal es perpendicular a la tangente: si la pendiente tangente m es finita y no nula, la normal tiene pendiente −1/m. Para pendiente tangente cero, la normal es vertical x = a.

En movimiento rectilíneo, si s(t) es posición, la velocidad es v(t) = s′(t) y la aceleración es a(t) = s″(t). Si s se mide en metros y t en segundos, sus unidades son m/s y m/s². La rapidez es |v|; aceleración negativa no implica por sí sola disminución de rapidez: también importa el signo de v.

La ecuación punto-pendiente y − y₀ = m(x − x₀) construye una normal de pendiente finita. En curvas implícitas, primero verifica el punto y obtiene la pendiente tangente por derivación; no uses el inverso negativo si la derivada no existe o es cero sin analizar la geometría.

Sigue el razonamiento

En x² + y² = 25, deriva: 2x + 2yy′ = 0. En el punto (3,4), y′ = −3/4: la pendiente depende del punto de la curva.

Para xy = 6, la regla del producto produce y + xy′ = 0. Si x ≠ 0, y′ = −y/x. Tratar y como constante eliminaría indebidamente el término xy′.

Sigue el razonamiento

Para f(x) = x⁴ − 2x²: f′ = 4x³ − 4x y f″ = 12x² − 4. En x = 0 la segunda derivada es −4: la curva es cóncava hacia abajo cerca de cero.

Para g(x) = 2x³, g′ = 6x², g″ = 12x y g‴ = 12. La tercera derivada es constante y la cuarta sería cero.

1. Si y depende de x, ¿cuál es la derivada de y³ respecto de x?

1. 3y²
2. 3y²y′
3. 0
4. y³y′

2. Si f(x) = x⁴, ¿cuál es f″(x)?

1. 12x²
2. 4x³
3. 24x
4. x²

3. La pendiente tangente es −3/4. ¿Cuál es la pendiente de la normal?

1. 4/3
2. −4/3
3. 3/4
4. −3/4