Razones trigonométricas y aplicaciones

Los lados dependen del ángulo que miras

En un triángulo rectángulo, la hipotenusa está siempre frente al ángulo de 90°. Para un ángulo agudoθ, el cateto opuesto está enfrente y el adyacente es el que toca aθ sin ser hipotenusa.

sen θ = opuesto/hipotenusa, cos θ = adyacente/hipotenusa y tan θ = opuesto/adyacente. Cambiar al otro ángulo agudo intercambia opuesto y adyacente, pero la hipotenusa sigue igual.

Las recíprocas son cosecante csc θ = hipotenusa/opuesto, secante sec θ = hipotenusa/adyacente y cotangente cot θ = adyacente/opuesto. Para un ángulo agudo todos estos lados son positivos y los denominadores no son cero.

Tres ángulos que se pueden resolver exactamente

En un triángulo 30°–60°–90°, los lados opuestos a esos ángulos están en razón 1:√3:2. Así, sen 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tan 30° = 1/√3; sen 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tan 60° = √3.

En un triángulo 45°–45°–90°, los catetos son iguales y la hipotenusa es√2 veces cada uno. Por eso sen 45° = cos 45° = √2/2 y tan 45° = 1.

Una inclinación respecto de la horizontal forma un ángulo con el suelo, no con la vertical. Dibuja ese ángulo antes de decidir qué lado es opuesto o adyacente.

Sombras y ángulos de elevación

Para un objeto vertical sobre suelo horizontal, altura/sombra = tanα siα es la elevación del sol respecto del suelo. La sombra es el cateto adyacente y la altura el opuesto.

Un ángulo de elevación se mide hacia arriba desde la horizontal del observador; uno de depresión, hacia abajo. Si las horizontales son paralelas, elevación y depresión entre los mismos puntos tienen igual magnitud.

Identidades y alturas con más de una medición

Para un ángulo real, sen²θ+cos²θ = 1. Para un ángulo agudo, si conoces seno puedes recuperar coseno con la raíz positiva: cos θ = √(1−sen²θ). También tan θ = sen θ/cos θ cuando cos θ≠0.

En dos observaciones desde el mismo lado de un objeto, usa una altura común y dos distancias relacionadas. La distancia más cercana tiene mayor ángulo de elevación si el nivel del observador no cambia.

Si el ojo está sobre el suelo, la tangente calcula la diferencia entre la altura del objeto y la del ojo. La altura total exige sumar luego la altura del observador.

Una pendiente porcentual no es un ángulo en grados

Una pendiente de 20% indica subida/desplazamiento horizontal = 20/100 = 0,2. Por tanto tan θ = 0,2; no significaθ = 20°.

Al comparar inclinaciones, usa la misma unidad y el mismo tipo de razón. Una rampa que sube 1 m en 5 m horizontales tiene pendiente 20%, aunque su longitud inclinada sea√26 m.

Un triángulo 3–4–5 desde un ángulo concreto

Paraθ, el cateto opuesto mide 3 cm, el adyacente 4 cm y la hipotenusa 5 cm. Encuentra las seis razones.

1. sen θ = 3/5; cos θ = 4/5; tan θ = 3/4.
2. csc θ = 5/3; sec θ = 5/4; cot θ = 4/3.
3. Las unidades se cancelan: son razones sin unidad. Verifica tan θ = sen θ/cos θ = (3/5)/(4/5) = 3/4.

Una escalera inclinada

Una escalera de 10 m forma 30° con el piso horizontal. ¿A qué altura llega y a qué distancia está su pie de la pared?

1. La escalera es hipotenusa. Altura = 10 sen 30° = 10/2 = 5 m.
2. Distancia horizontal = 10 cos 30° = 10√3/2 = 5√3 m.
3. Verifica Pitágoras:5²+(5√3)² = 25+75 = 100 = 10².

1. Para un ángulo agudoθ, opuesto = 5 cm e hipotenusa = 13 cm. ¿Cuál es sen θ?

1. 13/5
2. 5/12
3. 5/13

2. Una escalera de 12 m forma 30° con el piso. ¿Qué altura alcanza?

1. 6 m
2. 6√3 m
3. 12 m

3. Para un ángulo agudoθ se sabe sen θ = 5/13. ¿Cuál es cos θ?

1. 8/13
2. 12/13
3. −12/13