Funciones trigonométricas: seno y coseno

Dos unidades para medir un giro

Una vuelta completa equivale a 360° o 2π radianes. Por eso 180° = π rad; para pasar grados a radianes multiplica por π/180 y para volver multiplica por 180/π.

En un círculo de radio r, un punto del lado final del ángulo tiene coordenadas (x,y): cos θ = x/r y sen θ = y/r. En el círculo unitario r = 1 son directamente las coordenadas horizontal y vertical.

En un triángulo rectángulo, para un ángulo agudo, sen = opuesto/hipotenusa y cos = adyacente/hipotenusa. Fuera del primer cuadrante, las coordenadas pueden ser negativas; las longitudes de lados no explican por sí solas esos signos.

Amplitud y periodo describen una onda

En f(x) = A sen(Bx) + C, con A y B distintos de cero y x en radianes, la amplitud es |A|, el periodo T = 2π/|B| y la línea media es y = C. El rango es [C − |A|, C + |A|].

Para A cos(Bx) + C valen las mismas fórmulas de amplitud, periodo y rango. El coseno empieza en A + C cuando x = 0; el seno empieza en C.

Un A negativo refleja la onda respecto de su línea media. Un |B| mayor produce más oscilaciones en el mismo intervalo, por lo que su periodo es menor.

Triángulos que no son rectángulos

La ley de senos relaciona un lado con su ángulo opuesto: a/sen A = b/sen B = c/sen C. Debes emparejar correctamente cada lado y ángulo.

La ley de cosenos calcula un lado cuando conoces dos y su ángulo incluido: c² = a² + b² − 2 ab cos C. También permite recuperar un ángulo con cos C = (a² + b² − c²)/(2 ab).

La ley de senos con dos lados y un ángulo no incluido puede admitir dos triángulos. No supongas una solución única sin revisar la suma de ángulos y las condiciones. La ley de cosenos con dos lados y el ángulo incluido sí determina el tercer lado.

Del giro a las coordenadas

Evalúa seno y coseno de 90° y 180° en el círculo unitario.

1. 90° = π/2 rad termina en (0,1). Entonces cos(π/2) = 0 y sen(π/2) = 1.
2. 180° = π rad termina en (−1,0). Entonces cos π = −1 y sen π = 0.
3. Seno y coseno nunca salen del intervalo [−1,1] para un ángulo real.

Lee tres características de una función

Describe f(x) = −3 cos(2 x) + 5 con x en radianes.

1. Amplitud = |−3| = 3; línea media y = 5. El rango es [5 − 3, 5 + 3] = [2,8].
2. Periodo = 2π/2 = π rad.
3. f(0) = −3(1) + 5 = 2: empieza en su mínimo, por el signo negativo del coeficiente.

1. ¿Cuántos radianes son 150°?

1. 5π/3
2. 5π/6
3. 6π/5

2. ¿Cuál es la amplitud de f(x) = −4 sen(3 x) + 2?

1. −4
2. 3
3. 4

3. En un triángulo, A = 30°, B = 90° y el lado a opuesto a A mide 6 cm. ¿Cuánto mide b?

1. 12 cm
2. 3 cm
3. 6 cm