Sucesiones

La posición también es un dato

Una sucesión es una lista ordenada. aₙ representa el término en la posición n; a₁ es el primero si el índice empieza en 1. Dos términos pueden tener igual valor y ocupar posiciones distintas.

Una sucesión finita tiene una cantidad de términos determinada, como los registros de siete días. Una infinita no tiene último término dentro de su regla.

El valor de un término no es su índice. Si a₄ = 19, el 4 indica posición y el 19 indica valor. La ley de formación explica cómo obtener los términos.

Una lista corta permite más de una regla

Los términos 2, 4, 6 pueden continuar con 8 si la regla suma 2. También existen reglas diferentes que coinciden en esos tres términos y luego cambian.

Cuando una pregunta da una fórmula o una recurrencia, úsala como condición. Si pide proponer una regla, justifica que coincide con todos los datos y no afirmes una unicidad que no se ha establecido.

Para verificar una fórmula candidata, sustituye varias posiciones, empezando por la primera y cualquier término que diferencie las opciones.

Tres patrones frecuentes

Una sucesión aritmética suma la misma diferencia d entre términos consecutivos. Su término es aₙ = a₁ + (n − 1)d: desde el primero hasta el n-ésimo hay n − 1 saltos.

Una geométrica multiplica por una razón r constante; cuando el cociente está definido, aₙ/aₙ₋₁ = r. Su término es aₙ = a₁rⁿ⁻¹.

Una alternada cambia de signo entre términos consecutivos. Puede ser también geométrica, como 2, −4, 8, −16 con r = −2. Las clasificaciones no siempre se excluyen.

Comprueba diferencias y cocientes

En 20, 17, 14, 11, la diferencia es −3. Una aritmética puede ser decreciente y contener negativos.

En 81, 27, 9, 3, la razón es 1/3. Una geométrica puede disminuir aunque todos sus términos sean positivos.

Para hallar una posición a partir de un valor, resuelve a₁ + (n − 1)d = valor o a₁rⁿ⁻¹ = valor; después verifica que n sea un índice entero admisible.

Reglas que usan términos anteriores

Una recurrencia necesita una regla y condiciones iniciales. Si a₁ = 1, a₂ = 2 y aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂ para n ≥ 3, la lista empieza 1, 2, 3, 5, 8…

La sucesión de Fibonacci suele definirse con F₀ = 0, F₁ = 1 y Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. El índice inicial determina qué valor corresponde a cada posición.

Para reglas intercaladas, separa posiciones pares e impares antes de buscar un patrón conjunto. Cada subsecuencia puede tener una ley sencilla.

Patrones figurales y sumas

Una escalera de puntos con filas de 1, 2, …, n contiene Tₙ = n(n + 1)/2 puntos. Añadir la fila n + 1 agrega n + 1, no un incremento constante.

En una sucesión intercalada como 3, 20, 6, 18, 9, 16…, las impares suman 3 y las pares restan 2. El siguiente término impar es 12.

Para comparar dos fórmulas, busca un índice donde difieran. Coincidir en el primero no basta para demostrar que ambas representan todos los datos.

De la fórmula a la lista

La regla aₙ = 3n + 2, para n = 1, 2, 3…, produce a₁ = 5, a₂ = 8, a₃ = 11 y a₄ = 14.

Para hallar el término 10 no necesitas escribir toda la lista: a₁₀ = 3 × 10 + 2 = 32.

Si el índice comenzara en n = 0, la misma fórmula empezaría con 2. Por eso hay que leer siempre dónde inicia el conteo.

El signo forma parte del patrón

Para aₙ = (−1)ⁿ⁺¹(2n), con n desde 1, los valores son 2, −4, 6, −8…

La magnitud es 2n. El exponente n + 1 hace positivo el signo en posiciones impares y negativo en pares.

a₆ = (−1)⁷ × 12 = −12. No es una geométrica: los cocientes entre magnitudes no son constantes.

1. En la sucesión aₙ = 4n − 1, con n empezando en 1, ¿cuánto vale a₅?

1. 19
2. 5
3. 23

2. Una sucesión inicia en 25 y resta 4 en cada paso. ¿Cuál es su sexto término?

1. 1
2. 9
3. 5

3. Se define a₁ = 2, a₂ = 3 y aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂ para n ≥ 3. ¿Cuánto vale a₆?

1. 34
2. 21
3. 13