Progresiones aritméticas y geométricas

Una diferencia constante

Una progresión aritmética, PA, cumple aₙ = a₁ + (n − 1)d. d puede ser positivo, negativo o cero.

Entre aₘ y aₙ hay n − m saltos: aₙ − aₘ = (n − m)d. Esta forma permite hallar d sin conocer el primer término.

Si se conoce el último valor, despeja n y verifica que sea entero positivo. Un resultado como 7,5 no indica un medio término válido de la progresión.

Cantidad de términos y dirección

Si una PA finita tiene primero a₁, último aₙ y diferencia no nula d, entonces n = (aₙ − a₁)/d + 1.

Con d negativo, tanto la diferencia final − inicial como d serán negativos si la lista decrece, y su cociente puede ser positivo.

Para listar múltiplos dentro de un intervalo, identifica primero el menor y mayor múltiplo permitidos. Luego usa d igual al divisor para contar posiciones.

Suma por parejas

En una PA finita, primero más último es igual a segundo más penúltimo. Al escribir la suma en ambos órdenes se obtiene 2Sₙ = n(a₁ + aₙ).

Por tanto, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Sustituyendo el último término: Sₙ = n[2a₁ + (n − 1)d]/2.

La fórmula da la suma de los términos, no el valor del último. En un ahorro creciente, distingue aporte del último día de dinero acumulado.

Interpolar y sumar múltiplos

Insertar m medias aritméticas entre A y B crea m + 2 términos y m + 1 saltos. La diferencia es (B − A)/(m + 1).

Para sumar múltiplos de 7 entre 20 y 80, los extremos admisibles son 21 y 77. Cuenta n = (77 − 21)/7 + 1 y luego suma con esos extremos.

Si la suma es conocida y falta n, puede aparecer una cuadrática. Resuélvela y conserva solo el entero positivo que verifica la situación.

Progresión geométrica

Una PG no nula mantiene razón r entre términos consecutivos y cumple aₙ = a₁rⁿ⁻¹. Si r es negativo, los signos alternan; si 0 < r < 1 y a₁ > 0, los términos disminuyen.

Para r ≠ 1, la suma finita es Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r). Se obtiene al restar rSₙ de Sₙ. Si r = 1, todos los términos valen a₁ y Sₙ = na₁.

Tres términos positivos consecutivos pueden escribirse a/r, a, ar; el medio al cuadrado es producto de extremos. Interpolar medias geométricas positivas exige una razón positiva compatible con los extremos.

Cuándo hay suma infinita

Para una PG infinita con |r| < 1, rⁿ se acerca a cero y la suma converge a S∞ = a₁/(1 − r). El denominador es 1 − r.

Si r = 1 y a₁ ≠ 0, la suma no converge. Si r = −1, las sumas parciales oscilan y tampoco convergen. No apliques la fórmula infinita sin revisar |r|.

En modelos por etapas, lee si el valor inicial es etapa 0 o término 1. Una cantidad que se reduce a la mitad durante cuatro cambios usa cuatro factores 1/2, aunque aparezcan cinco registros contando el inicial.

Datos en posiciones separadas

En una PA, a₃ = 14 y a₇ = 34. Entre ambas posiciones hay 4 saltos, así que 4d = 34 − 14 = 20 y d = 5.

Para volver al inicio, a₁ = a₃ − 2d = 14 − 10 = 4. El término general es aₙ = 4 + 5(n − 1).

Comprobación: a₇ = 4 + 30 = 34. El número de términos entre las posiciones, contándolas, no es el número de saltos.

Aportes de varios días

Una persona ahorra 6 soles el primer día, 9 el segundo y aumenta 3 cada día. En 10 días, el último aporte es a₁₀ = 6 + 9 × 3 = 33.

El total es S₁₀ = 10(6 + 33)/2 = 195 soles.

Comprobación por parejas: 6 + 33 = 39, 9 + 30 = 39 y hay 5 parejas; 5 × 39 = 195.

1. Una PA empieza en 3 y tiene diferencia 4. ¿Cuál es a₇?

1. 24
2. 27
3. 31

2. Una PA tiene a₁ = 4 y d = 3. ¿Cuánto suman sus primeros 20 términos?

1. 650
2. 610
3. 1 220

3. Una PG tiene a₁ = 3 y r = −2. ¿Cuál es su sexto término?

1. 96
2. −192
3. −96