Patrones geométricos

Repetir no es lo mismo que crecer

Un patrón puede repetir un ciclo fijo de figuras o construir figuras cada vez mayores. Antes de calcular, describe qué se mantiene y qué cambia.

En un ciclo de longitud p, divide la posición n entre p. Si el residuo es r distinto de cero, corresponde a la posición r del ciclo. Si el residuo es cero, corresponde a la última posición, p.

Empieza a numerar desde la primera figura como posición 1 salvo que se indique otra convención. Cambiar el punto inicial modifica todas las posiciones.

Cuenta lo que añade cada figura

Una fila de cuadrados hechos con palitos comparte lados. El primer cuadrado usa cuatro; cada nuevo cuadrado que comparte un lado añade tres. Para n cuadrados: P(n) = 4 + 3(n − 1) = 3 n + 1.

La regla depende de la construcción descrita. Si los cuadrados fueran separados usarían 4 n palitos. No apliques una fórmula de figuras conectadas a figuras independientes.

Un arreglo de n filas por n columnas contiene n² piezas pequeñas. Las diferencias entre cuadrados consecutivos son impares: (n + 1)² − n² = 2 n + 1.

La fórmula debe reproducir el inicio

Verifica una regla en al menos las primeras figuras y explica por qué se conserva la forma. Ajustar una fórmula a pocos números no prueba que sea la única: la descripción de cómo se construye la figura es la que justifica continuar.

Si hay una parte fija y otra que se repite, cuéntalas por separado. Si dos piezas comparten un borde o un vértice, evita contarlo dos veces.

Patrones triangulares y conteo de todas las escalas

Si las filas tienen 1, 2, 3, …, n puntos, el total triangular es Tₙ = n(n + 1)/2. Puedes justificarlo al juntar dos arreglos para formar un rectángulo de lados n y n + 1.

En una cuadrícula de r filas por c columnas, un rectángulo se determina eligiendo dos líneas horizontales y dos verticales. Hay r(r + 1)c(c + 1)/4 rectángulos de todos los tamaños.

Contar solo celdas pequeñas no equivale a contar todos los cuadrados o rectángulos visibles: también existen figuras que abarcan varias celdas.

Prueba estructural frente a una adivinanza

El patrón de diferencias ayuda a proponer una fórmula, pero una explicación geométrica la sostiene. Para puntos triangulares, sumar la siguiente fila muestra Tₙ₊₁ − Tₙ = n + 1.

Al invertir una fórmula, revisa las soluciones admitidas. Resolver n(n + 1)/2 = 45 da una posición positiva y otra negativa; solo la positiva puede contar filas.

Una posición lejana sin dibujarla toda

Se repite el ciclo triángulo, círculo, cuadrado y estrella. ¿Qué figura ocupa la posición 38?

1. La longitud del ciclo es 4. Divide 38 = 4 × 9 + 2.
2. Tras nueve ciclos completos hay 36 figuras. La posición 38 es la segunda del ciclo siguiente.
3. La segunda figura es círculo. No hace falta construir las 38 figuras.

Un marco que crece

Se forma un cuadrado de n × n baldosas, n ≥ 2, y solo se colorea su borde de una baldosa de grosor. ¿Cuántas baldosas se colorean?

1. El cuadrado completo tiene n² y el interior sin borde tiene (n − 2)².
2. Borde = n² − (n − 2)² = 4 n − 4.
3. Para n = 6 hay 36 − 16 = 20. Contar 4 n duplicaría las cuatro esquinas.

1. Se repite, desde la posición 1: cuadrado, círculo, triángulo. ¿Qué figura ocupa la posición 20?

1. Círculo
2. Triángulo
3. Cuadrado

2. Una fila de 9 cuadrados contiguos se construye con palitos y cada par vecino comparte un lado. ¿Cuántos palitos usa?

1. 27
2. 28
3. 36

3. Se forman 12 filas con 1 punto en la primera, 2 en la segunda y así sucesivamente hasta 12. ¿Cuántos puntos hay?

1. 144
2. 66
3. 78