Operadores y razonamiento numérico

Un símbolo nuevo necesita una definición

Si se define a ★ b = 2a + b, el símbolo ★ ordena aplicar esa regla. No es automáticamente multiplicación, suma ni una operación que debas conocer de memoria.

a es el primer argumento y b el segundo. Para 3 ★ 5, sustituye a por 3 y b por 5 en todos sus lugares: 2(3) + 5 = 11.

Una operación definida puede ser unaria, como F(t) = t² − 1, o combinar dos cantidades. Antes de calcular, identifica la regla y el orden de sus entradas.

El paréntesis fija la agrupación

Para combinar operadores, resuelve la agrupación más interna y reemplaza el resultado en la externa. La definición no determina por sí sola una prioridad universal de símbolos nuevos.

Si a ★ b = a + 2b, entonces (2 ★ 3) ★ 4 = 8 ★ 4 = 16. En cambio, 2 ★ (3 ★ 4) = 2 ★ 11 = 24.

Estos resultados muestran que ★ no es asociativa. Escribe paréntesis explícitos cuando mezcles operadores definidos para que el problema tenga una lectura inequívoca.

La regla puede contener un parámetro

Si a ◆ b = ka + b y sabes que 2 ◆ 5 = 11, la definición crea 2k + 5 = 11. El dato determina k, no una nueva definición distinta para cada entrada.

Una vez hallado el parámetro, úsalo en todas las evaluaciones siguientes y comprueba el dato original.

Si buscas una entrada desconocida, transforma la regla en una ecuación. Que el operador sea nuevo no cambia las reglas para mantener la igualdad.

Tablas y restricciones

Una tabla de operación usa una fila para la primera entrada y una columna para la segunda. Lee antes la convención: cambiar fila y columna puede cambiar el resultado.

Si a □ b = (a + b)/(a − b), la regla solo está definida cuando a ≠ b. Hallar un cociente exige revisar el denominador antes de dividir.

Una cantidad finita de casillas no determina una única fórmula en todo un dominio infinito. Para escoger entre fórmulas candidatas, verifica todas las casillas dadas; si se pide extrapolar, indica la regla elegida.

Propiedades con pruebas y contraejemplos

Conmutativa significa a ★ b = b ★ a para todas las entradas del dominio. Asociativa significa (a ★ b) ★ c = a ★ (b ★ c) cuando las expresiones están definidas.

Un elemento neutro e debe cumplir a ★ e = e ★ a = a para toda a. Para a ★ b = a + b + 2, resulta e = −2.

Un solo contraejemplo basta para refutar una propiedad universal. Varios ejemplos favorables no la demuestran; una demostración debe usar la regla general.

Una búsqueda ordenada sigue un plan

El método de Pólya propone comprender datos y pregunta, diseñar una estrategia, ejecutarla y comprobar. El ensayo y error útil enumera candidatos con orden y descarta por una condición concreta.

Para seis animales con dos o cuatro patas y dieciséis patas en total, empieza suponiendo que todos tienen dos: serían doce patas. Cada animal de cuatro añade dos; faltan cuatro patas, así que hay dos de cuatro patas.

Para contar saludos entre n personas que se saludan una vez por pareja, una tabla o un árbol cuenta cada pareja dos veces si todos enumeran a todos. El total es n(n − 1)/2; con 7 personas son 21 saludos.

La posición de cada entrada importa

Se define a ◇ b = a − 2b. Entonces 4 ◇ 3 = 4 − 6 = −2. Al invertir, 3 ◇ 4 = 3 − 8 = −5.

Los resultados no son iguales; la operación no es conmutativa. El símbolo no hereda la conmutatividad de la suma.

Para a = −2 y b = −3, la misma regla da −2 − 2(−3) = 4. Los signos de los argumentos se conservan con paréntesis al sustituir.

Despeja una entrada

Define a ◉ b = 3a − b. Si x ◉ 4 = 11, entonces 3x − 4 = 11, por lo que x = 5.

Para la entrada del otro lado, 4 ◉ x = 11 da 12 − x = 11 y x = 1.

Las ecuaciones difieren porque la incógnita ocupa papeles distintos. Comprobar la ubicación de la entrada evita invertir automáticamente una operación que no es simétrica.

1. Se define a ★ b = 2a + b. ¿Cuánto vale 3 ★ 5?

1. 15
2. 11
3. 13

2. Se define a ◆ b = ka + b. Si 2 ◆ 5 = 11, ¿cuánto vale k?

1. 3
2. 6
3. 8

3. Se define a ⊙ b = a + b + 2 en los reales. ¿Cuál es su elemento neutro?

1. 0
2. 2
3. −2