Triángulos y relaciones métricas

Un triángulo necesita tres lados compatibles

Los ángulos interiores de un triángulo suman 180°. Cada lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. Tres segmentos con 2 + 3 = 5 no forman un triángulo: quedarían alineados.

Por lados, un equilátero tiene tres lados iguales; un isósceles tiene al menos dos; un escaleno, tres diferentes. Por ángulos, puede ser acutángulo, rectángulo u obtusángulo.

El perímetro suma los tres lados. El área es base × altura/2: la altura debe ser perpendicular a la base o a su prolongación, no simplemente un lado inclinado.

La altura a la hipotenusa crea dos proyecciones

En un triángulo rectángulo, traza desde el ángulo recto la altura h a la hipotenusa c. El pie divide c en p y q, de modo que c = p + q.

Si el cateto a tiene proyección p y el cateto b tiene proyección q, entonces a² = cp, b² = cq y h² = pq. Además, igualar las áreas da ab = ch.

Las proyecciones se emparejan con el cateto que llega a ese extremo de la hipotenusa. Estas identidades nacen de los triángulos semejantes formados por la altura.

Una relación para cada dato

Si conoces los dos catetos, primero halla c con Pitágoras y después h = ab/c. Si conoces p y q, usa c = p + q y h = √pq.

Si conoces un cateto a y c, su proyección es p = a²/c; la otra es q = c − p. No confundas la altura con una proyección: representan segmentos distintos.

Cuatro líneas, cuatro centros

Una mediana une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Las tres se encuentran en el baricentro, que divide cada mediana en razón 2:1 desde el vértice.

Una bisectriz divide un ángulo en dos iguales; sus intersecciones forman el incentro, equidistante de los tres lados y centro del círculo inscrito. Una mediatriz es perpendicular a un lado en su punto medio; las tres concurren en el circuncentro, equidistante de los vértices.

Una altura pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto o su prolongación; las alturas concurren en el ortocentro. Puede quedar fuera en un triángulo obtusángulo. El incentro y el baricentro siempre quedan dentro.

Un triángulo rectángulo de 5 y 12

Los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 y 12 cm. Halla hipotenusa, perímetro y área.

1. Pitágoras: c² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169, por lo que c = 13 cm.
2. Perímetro = 5 + 12 + 13 = 30 cm.
3. Los catetos son perpendiculares, así que uno puede ser base y el otro altura: área = 5 × 12/2 = 30 cm².

De las proyecciones al triángulo completo

La altura a la hipotenusa la divide en segmentos p = 9 y q = 16 cm. Encuentra c y h.

1. c = p + q = 25 cm.
2. h² = pq = 9 × 16 = 144, de modo que h = 12 cm.
3. Los catetos son √(25 × 9) = 15 y √(25 × 16) = 20 cm. Comprueba 15 × 20 = 25 × 12.

1. Dos ángulos interiores de un triángulo miden 47° y 68°. ¿Cuánto mide el tercero?

1. 75°
2. 65°
3. 115°

2. En un triángulo rectángulo, la altura divide la hipotenusa en 4 y 9 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

1. √97 cm
2. 6 cm
3. 13 cm

3. Una mediana mide 18 cm. ¿Qué distancia hay desde su vértice hasta el baricentro?

1. 12 cm
2. 9 cm
3. 6 cm