Rectas y centros del triángulo en coordenadas

Desde cero: rectas y distancia perpendicular

Una recta puede escribirse Ax + By + C = 0, donde A y B no son ambos cero. Si B ≠ 0, despejar y permite identificar la pendiente m = −A/B. Si B = 0, es vertical y no tiene pendiente finita. Para rectas no verticales, pendientes m₁ y m₂ con producto −1 indican perpendicularidad. Una vertical es perpendicular a una horizontal.

La distancia del punto (x₀,y₀) a esa recta es |Ax₀ + By₀ + C|/√(A² + B²). Es la longitud del segmento perpendicular, no de cualquier segmento que una el punto con la recta. El valor absoluto asegura una distancia no negativa; si el punto pertenece a la recta, el numerador es cero.

Medianas y baricentro

En un triángulo no degenerado, una mediana une un vértice con el punto medio del lado opuesto. El punto medio de (x₁,y₁) y (x₂,y₂) es ((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2). Una mediana no tiene por qué ser perpendicular al lado.

Las tres medianas se cortan en el baricentro G. Sus coordenadas son los promedios de las coordenadas de los tres vértices: G = ((x_A+x_B+x_C)/3,(y_A+y_B+y_C)/3). En cada mediana, G divide el segmento en razón 2:1 desde el vértice: del vértice a G hay el doble de distancia que de G al punto medio. Siempre está dentro del triángulo.

Mediatrices, alturas y otros centros

La mediatriz de un segmento es su recta perpendicular por el punto medio; cada uno de sus puntos está a igual distancia de los extremos. Las mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en el circuncentro, que está a igual distancia de los tres vértices y es el centro de la circunferencia que pasa por ellos.

Una altura pasa por un vértice y es perpendicular a la recta que contiene el lado opuesto. Las tres alturas se cortan en el ortocentro. En un triángulo rectángulo, los catetos son alturas: el ortocentro está en el vértice del ángulo recto y el circuncentro en el punto medio de la hipotenusa.

En un triángulo obtusángulo, circuncentro y ortocentro están fuera; el baricentro permanece dentro. Los tres centros coinciden en un triángulo equilátero, pero no en general. No elijas un centro sólo porque parezca estar en la mitad del dibujo: usa su definición.

Sigue el razonamiento

Para P = (1,2) y 3x + 4y − 6 = 0, la distancia es |3·1 + 4·2 − 6|/√(9 + 16) = |5|/5 = 1.

La recta y = 2x + 1 se escribe 2x − y + 1 = 0. Una recta perpendicular no vertical tiene pendiente −1/2, porque 2·(−1/2) = −1.

Sigue el razonamiento

Para A = (0,0), B = (6,0) y C = (0,3), el punto medio de BC es M = (3,1.5). La mediana desde A pasa por A y M: su ecuación es y = x/2.

El baricentro es G = ((0+6+0)/3,(0+0+3)/3) = (2,1). Pertenece a y = x/2 y está a dos tercios del recorrido desde A hacia M.

1. ¿Qué forma general equivale a y = 2x + 1?

1. 2x + y + 1 = 0
2. 2x − y + 1 = 0
3. x − 2y + 1 = 0
4. 2x − y − 1 = 0

2. ¿Qué define una mediana de un triángulo?

1. Une siempre dos puntos medios de lados.
2. Es perpendicular a un lado por su punto medio, sin exigir un vértice.
3. Une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
4. Siempre forma 90° con el lado opuesto.

3. ¿Cuál es la mediatriz del segmento de (0,0) a (6,0)?

1. y = 0
2. x = 3
3. y = 3
4. x = 6