Polígonos regulares

Regular significa lados y ángulos iguales

Un polígono regular convexo tiene n lados iguales y n ángulos interiores iguales, con n entero y n ≥ 3. Que solo los lados sean iguales no basta: un rombo no cuadrado no es regular.

La suma de ángulos interiores es (n − 2)180°. Cada interior mide esa suma dividida entre n. Cada exterior, tomado como el giro menor al continuar un lado, mide 360°/n; interior y exterior suman 180°.

Desde un vértice salen n − 3 diagonales. Al multiplicar por n se cuenta cada diagonal dos veces, así que el número total es n(n − 3)/2.

Radio y apotema no son sinónimos

El radio R va del centro a un vértice. La apotema a va perpendicularmente del centro al punto medio de un lado. Si el lado mide s, un medio triángulo central cumple R² = a² + (s/2)².

Cada triángulo central tiene base s y altura a. Sumarlos da área = nsa/2 = Pa/2, donde P es el perímetro. El área depende de la apotema, no directamente del radio.

En un hexágono regular, s = R y a = R√3/2. En un cuadrado, R es media diagonal y a es medio lado. En un triángulo equilátero, la apotema es R/2.

Un cálculo exacto debe usar datos compatibles

En una figura regular exacta, n, lado, radio y apotema no son independientes. Se relacionan mediante s = 2 R sen(π/n) y a = R cos(π/n), usando radianes.

Por eso no puedes asignar cualquier lado y apotema y afirmar que describen un polígono regular exacto. Si el problema entrega medidas redondeadas, el área calculada también es aproximada. En los ejercicios exactos siguientes usaremos datos geométricamente compatibles.

Recupera el número de lados

Si conoces el ángulo exterior e, n = 360/e. Si conoces un interior i, primero e = 180 − i y luego n = 360/e. El resultado debe ser un entero de al menos tres.

Si conoces el número de diagonales D, resuelve n(n − 3)/2 = D y descarta la raíz negativa. No todo ángulo o número D produce un polígono regular convexo posible.

Un círculo y un polígono inscrito comparten radio, pero sus áreas son diferentes. Para una región entre ambos, resta el área del polígono al área del círculo.

De la mitad del triángulo central al área

En un triángulo equilátero con radio circunscrito R, la apotema es R/2 y el lado es R√3. Eso da A = (3 R√3)(R/2)/2 = 3√3 R²/4.

Para cualquier n regular convexo, A = (n/2)R² sen(2π/n). Es otra forma de sumar los triángulos centrales: dos radios forman el ángulo incluido 2π/n. Usa radianes si aplicas esta expresión.

Un octágono bajo tres miradas

Describe ángulos y diagonales de un octágono regular.

1. n = 8. La suma interior es (8 − 2)180 = 1080°. Cada interior mide 1080/8 = 135°.
2. Cada exterior mide 360/8 = 45°, y 135 + 45 = 180.
3. Diagonales = 8(8 − 3)/2 = 20. Los ocho lados no cuentan como diagonales.

Área desde lado y apotema

Un hexágono regular tiene lado 6 cm y apotema 3√3 cm. Calcula su área exacta.

1. Perímetro P = 6 × 6 = 36 cm.
2. Cada triángulo central tiene área 6 × 3√3/2 = 9√3 cm². Hay seis: área total 54√3 cm².
3. La fórmula reúne la misma cuenta: A = Pa/2 = 36 × 3√3/2 = 54√3 cm². La apotema 3√3 es compatible con el lado 6 porque cada triángulo central es equilátero.

1. ¿Cuál es la suma de ángulos interiores de un heptágono convexo?

1. 360°
2. 900°
3. 1260°

2. Un hexágono regular tiene lado 5 cm. ¿Cuál es su perímetro?

1. 25 cm
2. 15 cm
3. 30 cm

3. Cada ángulo interior de un polígono regular convexo mide 156°. ¿Cuántos lados tiene?

1. 15
2. 13
3. 24