Geometría · APRENDE A TU RITMO
Geometría analítica y cónicas
Ubica rectas, distancias y cónicas mediante ecuaciones y sus elementos.
Aprender este tema jugando →Lo que vas a aprender
- Calcular distancia, punto medio y ecuación de recta.
- Reconocer circunferencias y parábolas.
- Distinguir elipse, hipérbola y formas generales iniciales.
Las ideas, paso a paso
Puntos y rectas en coordenadas
Entre A(x₁,y₁) y B(x₂,y₂), la distancia es √((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²) y el punto medio promedia cada coordenada. La pendiente m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁) mide cambio vertical por cambio horizontal cuando x₂≠x₁. Una recta vertical no tiene pendiente real definida.
La forma punto-pendiente y−y₁=m(x−x₁) determina una recta con un punto y su pendiente. Dos rectas no verticales paralelas tienen la misma pendiente; si son perpendiculares, el producto de pendientes es −1. El par horizontal-vertical también es perpendicular y se trata aparte.
Circunferencia y parábola
La circunferencia reúne puntos a distancia fija r de un centro (h,k). Su ecuación es (x−h)²+(y−k)²=r², con r>0. En una ecuación desarrollada, completar cuadrados permite recuperar centro y radio.
Una parábola reúne puntos equidistantes de un foco y una directriz. En (x−h)²=4p(y−k), el vértice es (h,k), el foco (h,k+p) y la directriz y=k−p. El signo de p determina apertura hacia arriba o abajo; p≠0 para una parábola no degenerada.
Elipse, hipérbola y clasificación
La elipse x²/a²+y²/b²=1, con a>b>0, tiene eje mayor horizontal y focos (±c,0), donde c²=a²−b². La suma de distancias a los focos es constante. Si el denominador mayor está bajo y², el eje mayor es vertical.
La hipérbola x²/a²−y²/b²=1 tiene dos ramas, eje transversal horizontal y focos (±c,0), con c²=a²+b². Sus asíntotas son y=±(b/a)x. En ecuaciones sin término xy, cuadrados con igual signo sugieren elipse o circunferencia y con signos opuestos hipérbola; siempre revisa el resto para descartar casos degenerados o vacíos.
Ejemplos resueltos
Sigue el razonamiento
La recta por (1,2) y (3,6) tiene m=(6−2)/(3−1)=2. Con el primer punto: y−2=2(x−1), por lo que y=2x.
El punto medio es ((1+3)/2,(2+6)/2)=(2,4), que también pertenece a la recta.
Sigue el razonamiento
En x²+y²−4x+6y−12=0, agrupa (x²−4x)+(y²+6y)=12. Completa con 4 y 9 en ambos lados.
Queda (x−2)²+(y+3)²=25: centro (2,−3), radio 5. El lado derecho es el radio al cuadrado.
Practica y revisa tu razonamiento
1. ¿Cuál es la distancia entre (−1,2) y (2,6)?
- 25
- 7
- 5
- √5
Ver respuesta y explicación
C. 5
- Δx=3 y Δy=4.
- d=√(3²+4²)=5.
A. Es el cuadrado de la distancia.
B. Suma desplazamientos absolutos y no la distancia recta.
C. Las diferencias son 3 y 4; √(9+16)=5.
D. No aplica la suma de cuadrados de los cambios 3 y 4, necesaria para la distancia recta.
2. En (x+2)²+(y−1)²=16, ¿cuáles son centro y radio?
- Centro (2,−1), radio 4.
- Centro (−2,1), radio 4.
- Centro (−2,1), radio 16.
- Centro (2,1), radio 8.
Ver respuesta y explicación
B. Centro (−2,1), radio 4.
- h=−2 y k=1.
- r²=16 implica r=4.
A. Se invirtieron los signos del centro.
B. Los signos se leen como x−(−2),y−1 y r=√16.
C. 16 es r², no r.
D. El signo horizontal y la raíz del radio son incorrectos.
3. ¿Cuáles son los focos de x²/25+y²/9=1?
- (−4,0) y (4,0)
- (−5,0) y (5,0)
- (0,−4) y (0,4)
- (−√34,0) y (√34,0)
Ver respuesta y explicación
A. (−4,0) y (4,0)
- a²=25,b²=9 y c=4.
- Los focos se ubican sobre el eje mayor x.
A. c²=25−9=16 y el eje mayor es horizontal.
B. Esos son los vértices del eje mayor.
C. El denominador mayor está bajo x², no y².
D. Suma cuadrados, relación propia de una hipérbola.
Fuentes y alcance
Material original de apoyo para admisión. Los cursos se comparten entre universidades; la ficha de cada institución indica qué materias corresponden a su ruta y qué parte del temario está verificada.
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