Cuerpos de revolución y capacidad

De un área de base a un volumen

Un cilindro circular recto tiene dos bases circulares congruentes y altura perpendicular h. Su volumen es V = área de base × altura = πr²h.

El volumen cuenta unidades cúbicas: cm³, dm³ o m³. La capacidad de un recipiente se refiere a cuánto puede contener en su interior; usa dimensiones interiores si el problema las especifica.

1 litro = 1 dm³ = 1000 cm³. Como 1 m = 10 dm, 1 m³ = 1000 litros. Para pasar longitudes de metros a centímetros multiplicas por 100; para volúmenes el factor correspondiente es 100³.

Cono y esfera: fórmulas con significado

Un cono circular recto con radio r y altura h tiene V = πr²h/3: ocupa un tercio del cilindro de igual base y altura. Su generatriz g es el segmento del vértice al borde de la base y cumple g² = r² + h².

El área lateral del cono esπrg y la total añade la baseπr². La altura no puede sustituir a la generatriz en el área lateral.

Una esfera de radio r tiene volumen 4πr³/3 y superficie 4πr². No tiene base ni altura independiente: el radio determina todo su tamaño.

Área de un cilindro cerrado o abierto

La pared lateral de un cilindro se despliega como rectángulo de ancho 2πr y altura h; su área lateral es 2πrh.

Un cilindro cerrado añade dos bases: A total = 2πrh +2πr². Un recipiente sin tapa pero con fondo añade una sola:2πrh +πr². El enunciado decide qué superficies se incluyen.

Recipientes y objetos que desplazan agua

Para una región hueca, resta volúmenes interiores al exterior solo si ambos modelos y unidades corresponden. Para volumen de material no uses capacidad sin considerar el espesor cuando se proporciona.

Un objeto totalmente sumergido desplaza su propio volumen. En un recipiente cilíndrico de área de base constante, la subidaΔh = volumen desplazado/área de base, siempre que no se desborde.

Si todas las longitudes de un sólido se multiplican por k, sus áreas se multiplican por k² y sus volúmenes por k³. Mantener solo una dimensión produce factores distintos.

Comprueba si hay espacio suficiente

Una subida de agua es válida si el nivel inicial másΔh no supera la altura interior del recipiente y si el objeto está completamente sumergido. Si hay desborde, el agua retenida ya no cumple la misma cuenta de subida sin pérdidas.

En un depósito abierto, capacidad y área de material son problemas distintos. Para pintar paredes y fondo cuenta superficies; para llenar de agua cuenta volumen interior.

Un cilindro con unidades consistentes

Un recipiente cilíndrico tiene radio interior 10 cm y altura interior 30 cm. ¿Cuál es su capacidad exacta en litros?

1. V = π(10²)(30) = 3000π cm³.
2. Cada litro contiene 1000 cm³, así que capacidad = 3000π/1000 = 3π litros.
3. El resultado exacto mantieneπ. Si se solicitara aproximación, recién entonces sustituirías un valor deπ.

Un cono de medidas exactas

Un cono recto tiene radio 3 cm y altura 4 cm. Calcula generatriz, volumen y área total.

1. g = √(3² +4²) = 5 cm.
2. V = π(3²)(4)/3 = 12π cm³.
3. Área lateral = π × 3 × 5 = 15π cm²; base = 9π. Área total = 24π cm².

1. Un cilindro tiene radio 3 cm y altura 8 cm. ¿Cuál es su volumen exacto?

1. 72π cm³
2. 24π cm³
3. 48π cm³

2. Un cono tiene radio 3 cm y altura 12 cm. ¿Cuál es su volumen exacto?

1. 12π cm³
2. 36π cm³
3. 108π cm³

3. Un recipiente cilíndrico sin tapa, con fondo, tiene radio 3 cm y altura 5 cm. Ignora espesor. ¿Cuál es el área de su material?

1. 48π cm²
2. 45π cm²
3. 39π cm²