Geometría · APRENDE A TU RITMO
Cuadriláteros
Clasifica figuras por sus propiedades y calcula ángulos, diagonales y áreas con alturas correctas.
Aprender este tema jugando →Lo que vas a aprender
- Reconocer cuadriláteros y la inclusión entre sus clases.
- Calcular áreas y diagonales de figuras con datos suficientes.
- Combinar propiedades y evaluar afirmaciones geométricas.
Las ideas, paso a paso
Cuatro lados y una suma de ángulos
Un cuadrilátero simple tiene cuatro lados y sus ángulos interiores suman 360°. Una diagonal une vértices no consecutivos; hay dos.
Un paralelogramo tiene dos pares de lados opuestos paralelos. Un rectángulo es un paralelogramo con cuatro ángulos rectos; un rombo tiene cuatro lados iguales. Un cuadrado cumple ambas propiedades, así que también es rectángulo y rombo.
En este tema llamamos trapecio al que tiene exactamente un par de lados opuestos paralelos. Usaremos base mayor B y base menor b para ese par. Declarar la convención evita confusiones entre clasificaciones.
Un cuadrilátero sin pares de lados opuestos paralelos se denomina trapezoide bajo esta convención. Un deltoide convexo tiene dos pares de lados contiguos iguales; una de sus diagonales es eje de simetría y biseca perpendicularmente a la otra.
Alturas y diagonales adecuadas
El área de un paralelogramo es base × altura perpendicular. Un lado oblicuo no sustituye a la altura salvo que sea perpendicular a la base.
El área de un trapecio es (B + b)h/2. Es el promedio de sus bases paralelas multiplicado por la distancia perpendicular entre ellas.
En un rombo, las diagonales son perpendiculares y se parten por la mitad; el área es Dd/2. Cada lado forma con las semidiagonales un triángulo rectángulo. Las diagonales de un rectángulo son iguales y se bisecan, pero no suelen ser perpendiculares.
Qué propiedades sí se comparten
En todo paralelogramo los lados y ángulos opuestos son iguales, los ángulos adyacentes suman 180° y las diagonales se bisecan.
Diagonales iguales no es una propiedad de todos los paralelogramos; corresponde, por ejemplo, al rectángulo. Diagonales perpendiculares corresponden al rombo, pero también a otras figuras; una sola propiedad aislada puede no identificar una clase.
Combina propiedades sin inventar datos
La diagonal de un rectángulo se obtiene con Pitágoras: d² = a² + b². En un cuadrado, d = l√2 y A = d²/2.
Si un cuadrilátero convexo tiene diagonales perpendiculares, su área es Dd/2, aunque no sea rombo. Para diagonales que no son perpendiculares, esa fórmula no se aplica directamente.
En un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos suman 180°. Esta propiedad requiere que los cuatro vértices estén sobre la misma circunferencia.
Áreas compuestas y unidades comparables
Para unir dos regiones sin superposición, suma sus áreas. Para quitar un hueco, resta su área. Antes de operar, expresa todas las longitudes en la misma unidad.
La igualdad de áreas no obliga igual forma ni igual perímetro. Tampoco iguales perímetros obligan igual área: un rectángulo 2 × 8 y otro 5 × 5 comparten perímetro 20, pero sus áreas son 16 y 25.
Ejemplos resueltos
Un ángulo que cierra la figura
Tres ángulos de un cuadrilátero miden 80°, 95° y 110°. Halla el cuarto.
- La suma conocida es 80 + 95 + 110 = 285°.
- El cuarto es 360 − 285 = 75°.
- Puedes justificar 360° al dividir el cuadrilátero en dos triángulos: 2 × 180°.
De las diagonales del rombo al lado
Un rombo tiene diagonales de 10 y 24 cm. Halla su área y su lado.
- Área = 10 × 24/2 = 120 cm².
- Las semidiagonales miden 5 y 12 cm y forman un ángulo recto.
- Lado = √(5² + 12²) = 13 cm; perímetro = 4 × 13 = 52 cm.
Practica y revisa tu razonamiento
1. Tres ángulos de un cuadrilátero son 90°, 120° y 70°. ¿Cuánto mide el cuarto?
- 80°
- 100°
- 20°
Ver respuesta y explicación
A. 80°
- 90 + 120 + 70 = 280.
- El cuarto es 360 − 280 = 80°.
A. 360 − (90 + 120 + 70) = 80.
B. 100 haría una suma de 380°, que excede 360°.
C. 20 resulta de usar una suma total equivocada de 300°.
2. Un paralelogramo tiene base 12 cm, lado oblicuo 7 cm y altura a esa base 5 cm. ¿Cuál es el área?
- 30 cm²
- 60 cm²
- 84 cm²
Ver respuesta y explicación
B. 60 cm²
- A = bh = 12 × 5.
- A = 60 cm².
A. 30 divide entre dos como si fuera un triángulo; el paralelogramo no requiere esa mitad.
B. La altura perpendicular es 5: 12 × 5 = 60.
C. 84 multiplica la base por el lado oblicuo en lugar de la altura.
3. Un rectángulo mide 5 por 12 cm. ¿Cuánto mide cada diagonal?
- 17 cm
- 60 cm
- 13 cm
Ver respuesta y explicación
C. 13 cm
- d² = 25 + 144 = 169.
- d = 13 cm.
A. 17 suma los lados; la diagonal es menor que esa suma.
B. 60 es el área numérica en cm², no una diagonal.
C. √(5² + 12²) = √169 = 13.
Fuentes y alcance
Material original de apoyo para admisión. Los cursos se comparten entre universidades; la ficha de cada institución indica qué materias corresponden a su ruta y qué parte del temario está verificada.
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