Circunferencia y círculo

El borde y la región interior

La circunferencia es el conjunto de puntos a distancia r de un centro. El círculo incluye la región interior y su borde. Un radio une centro y borde; un diámetro atraviesa el centro y mide 2 r.

Una cuerda une dos puntos de la circunferencia. El diámetro es la cuerda más larga. Un arco es una parte del borde; un sector es la región limitada por dos radios y su arco.

Longitud de la circunferencia L = 2πr = πd. Área del círculo A = πr². Deja π exacto salvo que el ejercicio pida aproximar; π es un número, no una unidad.

Arcos y sectores son fracciones de la vuelta

Un ángulo central tiene vértice en el centro y su medida en grados coincide con la medida angular del arco que intercepta. Un arco de θ° tiene longitud (θ/360)2πr.

El área de un sector de θ° es (θ/360)πr². Estas fórmulas requieren grados. Con ángulo θ en radianes, longitud de arco s = rθ y área de sector = r²θ/2.

Un ángulo inscrito tiene vértice en la circunferencia y mide la mitad del arco que intercepta, es decir, el arco entre sus lados que no contiene al vértice. Un ángulo inscrito que abarca un diámetro mide 90°.

Tangente y cuerda frente al radio

Una tangente toca la circunferencia en un punto y es perpendicular al radio allí. Desde un punto exterior, los dos segmentos tangentes a la misma circunferencia tienen igual longitud.

La perpendicular trazada desde el centro a una cuerda la divide en mitades. Así se forma un triángulo rectángulo con radio, distancia del centro a la cuerda y semicuerda: (media cuerda)² + distancia² = r².

Productos de segmentos y áreas que se restan

Si dos cuerdas AB y CD se cortan en P dentro del círculo, se cumple PA × PB = PC × PD. Cada producto toma las dos partes de una misma cuerda.

Para un punto exterior P, una tangente PT y una secante que cruza primero A y luego B cumplen PT² = PA × PB. PB es el segmento completo desde P hasta el punto más lejano, no solo el tramo interior AB.

Una corona circular entre radios R > r tiene área π(R² − r²). Un semicírculo incluye la mitad del área; el perímetro de su región suma arco semicircular y diámetro.

Cada producto debe usar segmentos correctos

Antes de sustituir en una igualdad de productos, identifica si P está dentro o fuera. En cuerdas interiores, las dos partes nacen en P y terminan en extremos opuestos de la misma cuerda.

En secantes exteriores, usa distancia exterior × distancia total. Una comprobación útil es dibujar los segmentos uno tras otro y sumar para encontrar la distancia total.

Un mismo radio, dos medidas distintas

Un círculo tiene radio de 6 cm. Calcula diámetro, longitud del borde y área.

1. Diámetro d = 2 × 6 = 12 cm.
2. Longitud L = 2π × 6 = 12π cm.
3. Área A = π × 6² = 36π cm². El cuadrado se aplica al radio, no a π.

Arco y sector de un cuarto de vuelta

En un círculo de radio 8 cm, un ángulo central mide 90°. Calcula arco y sector.

1. La fracción de vuelta es 90/360 = 1/4.
2. Arco = (1/4)(2π × 8) = 4π cm.
3. Sector = (1/4)(π × 8²) = 16π cm². Arco es longitud; sector es área.

1. Una circunferencia tiene diámetro de 18 cm. ¿Cuál es su radio?

1. 36 cm
2. 18 cm
3. 9 cm

2. En un círculo de radio 6 cm, ¿cuánto mide el arco de un ángulo central de 120°?

1. 4π cm
2. 12π cm
3. 12π cm²

3. Dos cuerdas se cruzan en P dentro de una circunferencia. Una tiene partes de 3 y 8 cm. La otra tiene una parte de 4 cm. ¿Cuánto mide su otra parte?

1. 24 cm
2. 6 cm
3. 7 cm