Razones y proporciones

Dos maneras de comparar

Si una cuerda mide 18 m y otra 12 m, la primera excede a la segunda en 6 m. La razón aritmética, en ese orden, es 18 − 12 = 6.

La razón geométrica es 18/12 = 3/2: por cada 3 unidades de la primera hay 2 de la segunda. En a/b, a es antecedente y b consecuente; b no puede ser cero.

El orden importa: 18 − 12 no es 12 − 18, y 18/12 no es 12/18. Antes de operar, identifica qué cantidad se compara con cuál.

Igualdad de razones

Una proporción aritmética es a − b = c − d. Al reorganizar, a + d = b + c: suma de extremos igual a suma de medios.

Una proporción geométrica es a/b = c/d, con b y d no nulos. Multiplicando por bd resulta ad = bc. Los extremos son a y d; los medios, b y c.

Si los medios difieren, la proporción es discreta. En la continua, ambos medios son iguales. Son nombres de su estructura, no métodos distintos de multiplicación.

Cuando los medios coinciden

En a − b = b − c, b es la media diferencial de a y c: 2b = a + c. El término c es la tercera diferencial de a y b: c = 2b − a.

En a/b = b/c, con denominadores no nulos, b² = ac. Si trabajamos con cantidades positivas, la media proporcional es b = √(ac). El término c es la tercera proporcional: c = b²/a, con a ≠ 0.

No confundas estas medias. Entre 4 y 16, la media diferencial es 10 y la proporcional positiva es 8.

Revisa los términos antes de despejar

En una proporción discreta 7 − 2 = 14 − d, d es cuarta diferencial: d = 9. En 7/2 = 14/d, d es cuarta proporcional: d = 4.

En una continua, hay tres valores escritos pero cuatro posiciones: a, b, b y c. Si calculas un producto de los cuatro términos, b aparece dos veces.

Una proporción geométrica continua positiva puede escribirse a, ar y ar². Esta forma ayuda a reconocer el vínculo entre sus extremos y su medio.

Enlaza razones con una cantidad común

Si a:b = 2:3 y b:c = 4:5, el término b tiene dos representaciones. Hazlo coincidir: multiplica la primera razón por 4 y la segunda por 3.

Resulta a:b:c = 8:12:15. No se pueden juntar 2:3:5 porque el 3 y el 4 representan a la misma cantidad b con escalas distintas.

Si las edades están en razón 3:2, puedes escribir 3k y 2k. Después de h años serán 3k + h y 2k + h; la razón no suele permanecer igual.

Suma cantidades y conserva su referencia

Para escalar una receta completa, multiplica cada ingrediente por el mismo factor. Si duplicas solo el total de agua, cambias la razón de la mezcla.

Si juntas mezclas distintas, suma primero la cantidad de cada componente. Una mezcla 2:3 de 10 L contiene 4 L y 6 L; otra 1:4 de 15 L contiene 3 L y 12 L. La mezcla conjunta es 7:18.

Las razones de las mezclas no se promedian sin considerar sus cantidades. Una razón resume composición, pero no indica por sí sola cuánto líquido hay.

Una receta a escala

Para una mezcla de semillas se usan 6 cucharadas de avena y 4 de quinua. La razón avena:quinua es 6:4 = 3:2.

Si preparas una porción de 25 cucharadas con esa misma composición, hay 3 + 2 = 5 partes. Cada parte vale 25/5 = 5 cucharadas.

La avena ocupa 3 × 5 = 15 y la quinua 2 × 5 = 10. La diferencia es 5, mientras que el cociente sigue siendo 3/2.

La misma terna, dos estructuras

Entre 5 y 17, la media diferencial es (5 + 17)/2 = 11. Se comprueba: 5 − 11 = −6 y 11 − 17 = −6.

Entre 9 y 25, la media proporcional positiva es √(9 × 25) = 15. Se comprueba: 9/15 = 15/25 = 3/5.

El adjetivo positiva resuelve la elección del signo de la raíz. Algebraicamente b² = 225 también admite −15, pero no representa una longitud positiva.

1. Una cinta mide 23 cm y otra 15 cm. ¿Cuál es la razón aritmética de la primera respecto de la segunda?

1. 8 cm
2. 23/15
3. −8 cm

2. ¿Cuál es la media diferencial de 10 y 26?

1. 16
2. √260
3. 18

3. Si a:b = 2:3, b:c = 4:5 y a + b + c = 140, ¿cuánto vale c?

1. 48
2. 60
3. 70