Proporcionalidad directa e inversa

Una razón compara dos cantidades

La razón a/b compara a con b mediante una división; b debe ser distinto de cero. Si ambas cantidades tienen la misma unidad, esta se cancela. Si son distintas, la razón puede ser una tasa: soles por kilogramo, por ejemplo.

Una proporción a/b = c/d afirma igualdad de razones. Con denominadores no nulos, equivale a ad = bc. La diferencia a − b es otra comparación y no se intercambia con el cociente.

En proporcionalidad directa y = kx, el cociente y/x es constante para x ≠ 0. Duplicar x duplica y; además, el modelo pasa por el origen.

Una tarea fija mantiene el producto

En proporcionalidad inversa y = k/x, el producto xy es constante; x no puede ser cero. Si duplicas una magnitud, la otra se divide entre dos.

Para una distancia fija, velocidad × tiempo = distancia. Para un trabajo fijo con trabajadores de igual rendimiento, trabajadores × días es constante, siempre que mantengan las mismas horas diarias y condiciones.

Relaciona una magnitud cada vez

En una proporción compuesta, decide por separado cómo cambia el resultado con cada factor. Para una producción a rendimiento constante: producción = k × personas × horas por día × días.

Si la producción se mantiene fija, duplicar personas reduce días a la mitad. Si la producción también se duplica, ese segundo cambio vuelve a multiplicar días por dos. Explica los efectos antes de operar.

Repartir según una razón

En un reparto directo según pesos 2, 3 y 5, representa las partes como 2 k, 3 k y 5 k. Si el total es T, entonces k = T/(2 + 3 + 5).

En un reparto inverso según 2, 3 y 6, los pesos son 1/2, 1/3 y 1/6. Multiplicarlos todos por 6 da los pesos enteros equivalentes 3, 2 y 1.

Una serie de razones iguales conserva el cociente al sumar antecedentes y consecuentes, si el denominador total no es cero: a/b = c/d = k implica (a + c)/(b + d) = k.

De la razón a una ecuación

Si a/b = 3/4, puedes escribir a = 3 k y b = 4 k. Si además b − a = 5, entonces k = 5 y los valores son 15 y 20.

Para evitar errores, usa la misma constante en todas las cantidades de una misma razón. En contextos de escala, convierte primero a unidades comparables.

Encuentra primero el valor de una unidad

Cuatro cuadernos iguales cuestan S/ 18, sin cargos fijos ni descuentos. ¿Cuánto cuestan diez?

1. La constante es 18/4 = 4,5 soles por cuaderno.
2. Diez cuestan 10 × 4,5 = 45 soles.
3. También 18/4 = P/10, por lo que 4 P = 180 y P = 45.

Más trabajadores para la misma tarea

Seis personas completan una tarea en 15 días. Al mismo rendimiento y horario, ¿cuánto tardan diez personas?

1. El trabajo equivale a 6 × 15 = 90 jornadas de una persona.
2. Con diez personas: 10 t = 90.
3. t = 9 días. Aumentó la cantidad de personas y disminuyó el tiempo, como debía ocurrir.

1. Una cinta roja mide 12 cm y una azul 18 cm. ¿Cuál es la razón roja/azul simplificada?

1. 3/2
2. 6
3. 2/3

2. Un vehículo recorre una ruta en 6 horas a 50 km/h constantes. ¿Cuánto demora a 75 km/h, sin paradas?

1. 4 horas
2. 9 horas
3. 5 horas

3. Se reparten S/ 840 en razón 2:3:7. ¿Cuál es la parte mayor?

1. S/ 420
2. S/ 490
3. S/ 280