Promedios: aritmético, ponderado, geométrico y armónico

La media aritmética reparte una suma

La media aritmética de n datos es su suma dividida entre n. Puede representar cuánto recibiría cada dato si el total se repartiera por igual.

Si la media es A, la suma es nA. La media no tiene que ser uno de los datos y conserva su unidad. Con datos reales queda entre el menor y el mayor.

La media cambia si se agrega un dato extremo. No confundas media con mediana, que es un valor central al ordenar los datos, ni con moda, que es el valor más frecuente.

No todos los datos tienen el mismo peso

La media ponderada es (w₁x₁ + w₂x₂ + …)/(w₁ + w₂ + …), con pesos positivos. Un peso indica cuántas veces cuenta un valor o qué importancia declarada tiene.

Para combinar grupos, los pesos son sus cantidades de personas o elementos. Promediar directamente las medias de dos grupos solo funciona cuando tienen el mismo tamaño.

Si los pesos son porcentajes que suman 100%, puedes usar decimales: 30% y 70% se vuelven 0,3 y 0,7, cuya suma es uno.

Pesos en evaluaciones y mezclas

En una nota final, los pesos los indica el sistema de evaluación. En un precio medio de una mezcla, cada precio por kilogramo se pondera por los kilogramos correspondientes.

Antes de dividir, revisa que el denominador sea la suma de todos los pesos. Si faltan pesos o porcentajes, la media final puede no estar determinada.

Geométrica para productos; armónica para recíprocos

Para n datos positivos, la media geométrica G es la raíz n-ésima de su producto. Para dos: G = √(ab). Es útil al resumir factores de crecimiento multiplicativos.

La media armónica H = n/(1/x₁ + … + 1/xₙ), con datos positivos. Para dos: H = 2 ab/(a + b). Aparece al promediar velocidades de tramos de igual distancia.

Para datos positivos, H ≤ G ≤ A; las tres coinciden solo si todos los datos son iguales. Estas condiciones de positividad importan, especialmente al usar raíces y recíprocos.

Crecimientos sucesivos se multiplican

Si un valor crece 20% un año y 80% el siguiente, el factor total es 1,2 × 1,8 = 2,16. El factor anual constante equivalente es √2,16; su tasa es ese factor menos uno.

No apliques la media geométrica a las tasas porcentuales desnudas: usa factores 1 + tasa. Una subida de 50% y una bajada de 50% dan 1,5 × 0,5 = 0,75, una disminución total de 25%.

Reconstruir una nota faltante

Cuatro notas tienen media 14. Tres son 12, 15 y 13. ¿Cuál falta?

1. La suma de las cuatro debe ser 4 × 14 = 56.
2. Las conocidas suman 12 + 15 + 13 = 40.
3. La nota faltante es 56 − 40 = 16. Verifica: (12 + 15 + 13 + 16)/4 = 14.

Dos grupos de tamaños diferentes

Un grupo de 8 estudiantes tiene media 13 y otro de 12 tiene media 18. ¿Cuál es la media conjunta?

1. La suma del primero es 8 × 13 = 104; la del segundo es 12 × 18 = 216.
2. La suma conjunta es 320 y hay 20 estudiantes.
3. Media conjunta = 320/20 = 16. Dar 15,5 a partir de (13 + 18)/2 usaría pesos incorrectos.

1. ¿Cuál es la media aritmética de 6, 8, 11 y 15?

1. 40
2. 10
3. 9,5

2. Una evaluación de 12 vale 40% y otra de 17 vale 60%. ¿Cuál es la nota final ponderada?

1. 14,5
2. 29
3. 15

3. ¿Cuál es la media geométrica de 4 y 25?

1. 10
2. 14,5
3. 100