Potencias, raíces y notación científica

Una potencia cuenta factores

En aⁿ, a es la base y n es el exponente. Para n entero positivo, multiplicas n factores iguales a a: 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81. No multiplicas 3 por 4.

Los paréntesis deciden qué se eleva. (−2)² = 4 porque el negativo pertenece a la base; −2² = −4 porque primero se eleva 2 y luego se cambia el signo.

Si a no es cero, a⁰ = 1 y a⁻ⁿ = 1/aⁿ. El exponente negativo indica un recíproco, no un resultado necesariamente negativo.

Potencia de una fracción

Para elevar una fracción a un entero positivo, eleva numerador y denominador: (2/3)² = 4/9.

Una potencia de potencia multiplica exponentes: (3²)³ = 3⁶. En cambio, una suma no se distribuye: (2 + 3)² = 25, mientras 2² + 3² = 13.

La raíz deshace una potencia

La raíz cuadrada principal √a es el número no negativo cuyo cuadrado es a. Así, √49 = 7. La ecuación x² = 49 tiene dos soluciones, 7 y −7; el símbolo √49 por sí solo designa 7.

Un racional se puede escribir como cociente de enteros con denominador no nulo. √2 es irracional: su decimal no termina ni se repite periódicamente. Puedes aproximarlo, pero 1,414 no es su valor exacto.

Simplificar es distinto de redondear

Como 72 = 36 × 2, √72 = √36 × √2 = 6√2: esta igualdad es exacta. Si usas √2 ≈ 1,4142, entonces √72 ≈ 8,4852.

Redondea solo al final si los datos permiten conservar precisión. A dos decimales mira el tercer decimal: si es 5 o mayor aumenta la centésima; si es menor la mantienes.

Notación científica

Una cantidad en notación científica se escribe a × 10ⁿ, con 1 ≤ |a| < 10 y n entero. Por ejemplo, 420 000 = 4,2 × 10⁵.

Un exponente positivo representa posiciones hacia cantidades grandes. Un exponente negativo representa cantidades pequeñas: 0,00063 = 6,3 × 10⁻⁴. Cuenta desplazamientos de la coma, no ceros visibles.

Sumar exige la misma escala

Para sumar 2 × 10⁵ + 3 × 10⁴, escribe 3 × 10⁴ = 0,3 × 10⁵. Así obtienes 2,3 × 10⁵.

En un cociente divide coeficientes y resta exponentes. Para estimar, verifica el orden de magnitud: dividir un número de miles entre uno de decenas suele producir una cantidad de centenas, no de millones.

Combina potencias de la misma base

Resuelve (2³ × 2⁴) ÷ 2⁵. En el numerador hay siete factores 2: 2³ × 2⁴ = 2⁷.

Al dividir se cancelan cinco factores: 2⁷ ÷ 2⁵ = 2² = 4. Las reglas aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ y aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ requieren la misma base; en un cociente, base no nula.

Aproxima sin fingir exactitud

Para ubicar √50 observa que 7² = 49 y 8² = 64, de modo que 7 < √50 < 8.

Para una décima, 7,0² = 49 y 7,1² = 50,41. La raíz está entre 7,0 y 7,1 y su valor aproximado es 7,071…; redondeada a una décima es 7,1. Escribe √50 ≈ 7,1.

1. ¿Cuál es el valor de 2⁻³?

1. −8
2. 1/8
3. 1/6

2. ¿Cuál es √(81/16)?

1. ±9/4
2. 9/4
3. 81/4

3. ¿Cuál es la notación científica de 0,00072?

1. 7,2 × 10⁻⁴
2. 72 × 10⁻⁵
3. 7,2 × 10⁴