Porcentajes sucesivos

El factor conserva o añade una parte

Aumentar p % equivale a multiplicar por 1 + p/100. Descontar d % equivale a multiplicar por 1 − d/100.

Después de cada cambio, el siguiente porcentaje se aplica al nuevo monto, salvo que el enunciado establezca otra base.

Un descuento de 20 % conserva 80 %: factor 0,80. Un aumento de 20 % produce 120 %: factor 1,20. Escribe el factor antes de hacer cuentas.

Un aumento seguido de otro

Una cantidad de 100 aumenta 10 % y después 20 %. Los valores son 100 → 110 → 132. El aumento total es 32 %.

Si las tasas se aplican sucesivamente a todo el monto, el orden de los factores no cambia el resultado exacto: 1,10 × 1,20 = 1,20 × 1,10.

Esto no autoriza a intercambiar condiciones diferentes. Un cupón de monto fijo, un tope o redondeos intermedios puede hacer relevante el orden.

Un solo cambio equivalente

Para aumentos a % y b %, el factor (1 + a/100)(1 + b/100) da un aumento único de a + b + ab/100 por ciento.

Para descuentos d % y e %, el factor (1 − d/100)(1 − e/100) da un descuento único de d + e − de/100 por ciento. Aquí el término del producto se resta.

La manera más segura es multiplicar los factores y comparar el resultado con 1. Así también resuelves una combinación de aumentos y descuentos sin memorizar más fórmulas.

Revertir requiere el recíproco

Si un descuento de 20 % multiplica por 0,80, volver al valor inicial exige multiplicar por 1/0,80 = 1,25: un aumento de 25 %.

Si un aumento de 25 % multiplica por 1,25, se revierte con factor 0,80: un descuento de 20 %.

Una variación total cero ocurre cuando el producto de factores es exactamente 1. No basta con que las tasas escritas tengan el mismo número.

Deshaz la cadena completa

Si un precio final F resulta de aplicar factores f₁ y f₂ al precio P, entonces F = Pf₁f₂ y P = F/(f₁f₂). No sumes las rebajas para reconstruirlo.

Para comparar ofertas, utiliza el mismo precio base y todos sus factores. Un descuento de 20 % seguido de 10 % deja 72 %; uno de 25 % deja 75 %. La primera oferta cobra menos.

A lo largo de una cadena comercial, cada vendedor puede recargar sobre su propio costo. Multiplica los factores de cada etapa para conocer el precio final.

Ganancia y margen usan bases diferentes

Si el costo es C y la venta V, la ganancia es G = V − C. Una ganancia de 25 % sobre costo significa V = 1,25C.

Un margen de 25 % sobre venta significa G = 0,25V y por tanto C = 0,75V. No equivale al mismo recargo sobre costo.

Vender dos objetos al mismo precio, ganando p % sobre costo en uno y perdiendo p % en otro, exige recuperar cada costo por separado. Los costos iniciales no son iguales, así que sus porcentajes no se cancelan.

Dos descuentos tienen dos bases

Un artículo de 300 soles recibe descuento de 10 % y luego de 20 %. Primero queda 300 × 0,90 = 270.

El segundo descuento es 20 % de 270, es decir, 54. El precio final es 216 soles.

El factor total es 0,90 × 0,80 = 0,72: se conserva 72 % y se descuenta 28 % del precio inicial. No se descuenta 30 %.

Iguales tasas no se cancelan

Partiendo de 100, un aumento de 20 % lleva a 120. Un descuento posterior de 20 % quita 24 y deja 96.

El factor 1,20 × 0,80 = 0,96 indica disminución global de 4 %.

En general, subir p % y bajar p % produce factor 1 − (p/100)². El segundo cambio usa una base diferente, por eso no regresas al inicio.

1. Un precio de 200 soles aumenta 15 %. ¿Cuál es el nuevo precio?

1. 30 soles
2. 215 soles
3. 230 soles

2. ¿A qué descuento único equivalen descuentos sucesivos de 20 % y 30 %?

1. 56 %
2. 44 %
3. 50 %

3. Después de descuentos sucesivos de 15 % y 10 %, se pagan 153 soles. ¿Cuál era el precio inicial?

1. 200 soles
2. 191,25 soles
3. 204 soles