Porcentajes: aplicaciones

Los precios tienen funciones distintas

El costo C es lo que paga quien adquiere el producto; el precio de lista L es el anunciado antes de una rebaja; el precio de venta V es lo cobrado finalmente.

Ganancia G = V − C cuando V > C. Pérdida P = C − V cuando V < C. Un descuento D se resta a la lista: V = L − D.

En estos problemas, el porcentaje de ganancia o pérdida se toma sobre el costo cuando así se declara; el descuento se toma sobre la lista. Escribe cada base: no la supongas si el enunciado usa otra.

Expresa la relación antes del cálculo

En ausencia de otros gastos, L − D = C + G o L = C + G + D. Son cantidades monetarias; sus porcentajes pueden tener bases distintas.

Si V = C(1 + g) y V = L(1 − d), entonces L = C(1 + g)/(1 − d), con g y d como tasas decimales y d ≠ 1.

Si un problema incluye transporte, comisiones o empaques como costo, incorpóralos antes de calcular la ganancia sobre costo total. No confundas facturación con ganancia.

El promedio depende de las cantidades

Si mezclas cantidades q₁ y q₂ con precios por unidad p₁ y p₂, el costo unitario de la mezcla es (q₁p₁ + q₂p₂)/(q₁ + q₂).

Los productos del numerador son costos totales; el denominador es cantidad total. No promedies solo los precios cuando los pesos son diferentes.

Con cantidades positivas, el promedio queda entre el menor y el mayor precio. Si sale fuera de ese intervalo, hay un error de unidades o de cálculo.

Concentración es parte entre total

Una solución de 500 g al 12 % en masa contiene 500 × 0,12 = 60 g de componente disuelto y 440 g de los demás componentes.

Para mezclar soluciones sin pérdidas, conserva la masa del componente: concentración final = suma de masas de componente / masa total.

Si se trabajan volúmenes, el enunciado debe suponer que son aditivos y que los porcentajes usan la misma referencia. No mezcles porcentajes en masa con porcentajes en volumen. Aquí las mezclas de práctica usarán masa para evitar esa diferencia.

Diluir y concentrar no son la misma operación

Añadir agua pura a una solución conserva la masa de soluto y aumenta el total, por lo que baja la concentración. Si hay M kg al c %, el soluto es M × c/100.

Para llegar a concentración objetivo t, plantea soluto conservado = t decimal × nuevo total. Una concentración menor que la inicial exige aumentar el total si solo agregas agua.

En una aleación, sumar metal puro aumenta tanto el componente buscado como el total: (componente inicial + x)/(masa inicial + x). No dejes fijo el denominador.

Retirar una mezcla uniforme

Si una mezcla está homogénea, retirar una fracción de su masa retira esa misma fracción de cada componente. Después de retirar, actualiza tanto soluto como masa total.

Si repones con agua, el soluto retirado no regresa. Reponer la misma masa devuelve el total inicial, pero con menor concentración.

Para hallar proporciones de dos mezclas hacia un objetivo, resuelve c₁x + c₂y = t(x + y). La razón x:y debe ser positiva y el objetivo estar entre las concentraciones iniciales.

Lista con un descuento previsto

Un artículo cuesta 120 soles. Se quiere ganar 25 % sobre costo después de ofrecer descuento de 20 % sobre lista.

Venta deseada: V = 120 × 1,25 = 150. Como el descuento conserva 80 % de la lista, 0,80L = 150 y L = 187,50.

Comprobamos: rebaja 37,50; venta 150; ganancia 30, que es 25 % de 120. Sumar 25 % y 20 % al costo no cumple ambos objetivos.

Dos cafés con pesos diferentes

Mezclas 2 kg de café de 18 soles/kg con 4 kg de café de 27 soles/kg. Los costos son 36 y 108 soles.

Costo conjunto 144 soles; masa total 6 kg. El costo medio es 144/6 = 24 soles/kg.

La media simple (18 + 27)/2 = 22,50 solo serviría si los dos pesos fueran iguales. La mezcla contiene más cantidad del café de 27, por eso el promedio está más cerca de 27.

1. Un artículo cuesta 120 soles y se vende a 150. ¿Cuál es la ganancia porcentual sobre costo?

1. 25 %
2. 20 %
3. 30 %

2. Mezclas 2 kg de un producto de 20 soles/kg con 3 kg de otro de 30 soles/kg. ¿Cuál es el costo medio por kg?

1. 25 soles/kg
2. 50 soles/kg
3. 26 soles/kg

3. Tienes 10 kg de solución al 30 % en masa. ¿Cuánta agua pura debes agregar para llegar al 20 %?

1. 1 kg
2. 5 kg
3. 10 kg