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Aritmética · APRENDE A TU RITMO

MCM y MCD

Elige entre agrupar sin sobrantes y encontrar coincidencias periódicas.

Aprender este tema jugando →

Lo que vas a aprender

Las ideas, paso a paso

Dos preguntas diferentes

El máximo común divisor, MCD, es el mayor número natural que divide exactamente a dos o más cantidades. Sirve para buscar el mayor tamaño común de grupos o piezas.

El mínimo común múltiplo, MCM, es el menor múltiplo positivo compartido. Sirve para encontrar la primera coincidencia de ciclos o la menor cantidad que admite varios tamaños de grupo.

Para 6 y 8, el MCD es 2 y el MCM es 24. Uno no puede reemplazar al otro.

Factores primos: menores y mayores exponentes

Para hallar el MCD, conserva solo los primos que aparecen en todas las cantidades, cada uno con su menor exponente.

Para hallar el MCM, incluye todos los primos presentes, cada uno con su mayor exponente.

Ejemplo: 24 = 2³ × 3 y 36 = 2² × 3². MCD = 2² × 3 = 12; MCM = 2³ × 3² = 72.

Comprobaciones que detectan errores

El MCD debe dividir a cada cantidad; el MCM debe ser divisible entre cada una. Para dos naturales positivos a y b, MCD(a,b) × MCM(a,b) = a × b.

La identidad anterior corresponde a dos números; no se aplica multiplicando sin cambios tres números.

Si uno de los números divide al otro, el menor es el MCD y el mayor es el MCM. Si son coprimos, el MCD es 1 y el MCM es su producto.

Del resultado a la pregunta real

En un problema de cortes, hallar la longitud máxima no responde cuántas piezas hay. Divide cada longitud inicial entre el MCD y suma los cocientes si piden el total de piezas.

En ciclos, distingue tiempo transcurrido de hora del reloj. Si coinciden a las 8:10 y vuelven a coincidir 45 minutos después, la respuesta horaria es 8:55.

Si preguntan coincidencias dentro de un intervalo, decide si se incluye el momento inicial y si el extremo final se cuenta.

Combina condiciones

Si una cantidad debe repartirse en grupos de 8 o de 12 sin sobrar, es múltiplo de MCM(8,12) = 24. Si además debe superar 100, busca el primer múltiplo de 24 mayor que 100: 120.

Si conoces MCD y MCM de dos números y uno de ellos, el otro se obtiene con la identidad del producto. Después verifica que el MCD y el MCM sí coincidan con los datos.

Traducir todas las restricciones antes de calcular evita elegir un múltiplo válido que quede fuera del intervalo pedido.

Ejemplos resueltos

Agrupar o esperar

Con 12 lápices y 18 borradores quieres armar paquetes idénticos usando todo. Para maximizar el número de paquetes, ese número debe dividir a 12 y a 18: MCD(12,18) = 6. Cada paquete tendrá 2 lápices y 3 borradores.

Si una luz destella cada 12 segundos y otra cada 18, y destellan juntas ahora, la siguiente coincidencia ocurre en MCM(12,18) = 36 segundos.

La palabra mayor no basta para elegir: identifica qué debe dividir a qué.

Tres longitudes, un mismo corte

Se cortarán cintas de 48, 60 y 84 cm en trozos iguales lo más largos posible, sin desperdicio.

48 = 2⁴ × 3; 60 = 2² × 3 × 5; 84 = 2² × 3 × 7. Los factores presentes en las tres son 2² y 3.

MCD = 2² × 3 = 12 cm. Se obtienen 4 + 5 + 7 = 16 trozos. La longitud de cada trozo y la cantidad de trozos son respuestas distintas.

Practica y revisa tu razonamiento

1. ¿Cuál es el MCD de 8 y 12?

  1. 2
  2. 4
  3. 24
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B. 4

  1. Divisores de 8: 1, 2, 4, 8.
  2. Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
  3. El mayor compartido es 4.

A. 2 divide a ambos, pero no es el mayor divisor común.

B. 4 divide a 8 y a 12, y ningún divisor común es mayor.

C. 24 es el MCM, no un divisor de 8 y 12.

2. Si 40 = 2³ × 5 y 60 = 2² × 3 × 5, ¿cuál es su MCD?

  1. 10
  2. 20
  3. 120
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B. 20

  1. MCD = 2² × 5.
  2. MCD = 4 × 5 = 20.

A. 10 es común, pero se puede conservar 2², no solo un factor 2.

B. Los factores compartidos con menor exponente son 2² y 5; su producto es 20.

C. 120 incluye todos los factores con exponentes mayores: es el MCM.

3. Cortas cintas de 72 y 120 cm en trozos iguales de máxima longitud, sin sobrantes. ¿Cuántos trozos obtienes en total?

  1. 24
  2. 8
  3. 192
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B. 8

  1. MCD(72,120) = 24 cm.
  2. 72/24 + 120/24 = 3 + 5 = 8 trozos.

A. 24 cm es la longitud de cada trozo, pero se pregunta la cantidad total.

B. El MCD es 24; se obtienen 72/24 = 3 y 120/24 = 5: en total 8.

C. 192 cm es la longitud acumulada antes de cortar, no el número de trozos.

Completar los 24 pasos →

Fuentes y alcance

Material original de apoyo para admisión. Los cursos se comparten entre universidades; la ficha de cada institución indica qué materias corresponden a su ruta y qué parte del temario está verificada.

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