Magnitudes proporcionales

Una magnitud y sus cantidades

Masa, tiempo y longitud son magnitudes; 3 kg, 8 h y 12 cm son cantidades de esas magnitudes. Para comparar, expresa datos equivalentes en las mismas unidades.

Dos magnitudes son directamente proporcionales si y/x = k constante para x ≠ 0: y = kx. Al duplicar x, y también se duplica.

Que ambas aumenten no basta. Una tarifa y = 5 + 2x aumenta con x, pero el cargo fijo impide un cociente constante.

Un producto que se conserva

Dos magnitudes positivas son inversamente proporcionales si xy = k. Entonces y = k/x: al duplicar x, y se reduce a la mitad.

Si varios trabajadores igualmente productivos hacen una tarea divisible, y no hay interferencias ni tiempos fijos, trabajadores × horas puede ser constante.

En la gráfica y = k/x, los puntos forman una curva, no una recta; x = 0 queda fuera del modelo. Para k > 0, al aumentar x positivo, y disminuye.

Cambiar la unidad antes de relacionar

Para una distancia fija, velocidad × tiempo = distancia. Si duplicas la velocidad, el tiempo se divide entre dos, siempre que la velocidad sea constante en cada viaje.

Las relaciones inversas pueden expresarse con fracciones: si y = 36/x, para x = 8 resulta y = 4,5. No hay obligación de que ambas cantidades sean enteras.

Una disminución conjunta no implica relación inversa. Comprueba el producto, y decide si las cantidades permiten valores continuos o solo conteos.

Proporcional no siempre significa a la variable sola

Si M es directamente proporcional a √t, entonces M = k√t. Para multiplicar M por 3 necesitas multiplicar t por 9.

Si un cubo mantiene su densidad, masa es proporcional a volumen, y volumen es proporcional al cubo de la arista. Duplicar la arista multiplica masa por 8.

Nombra la magnitud exacta: ser proporcional al área no es lo mismo que ser proporcional al lado.

Varios factores de trabajo

En una regla de tres compuesta, compara cada magnitud manteniendo las demás fijas. Para igual productividad, producción = k × personas × horas/día × días.

Si aumenta la tarea, aumentan los días; si aumentan personas u horas por día, disminuyen los días necesarios. Escribe una igualdad de tasas para no memorizar flechas.

Un reparto directo usa pesos a,b,c. Uno inverso usa 1/a,1/b,1/c. Normaliza esos pesos dividiendo cada uno entre su suma.

Precio por una cantidad

A precio unitario constante, 3 kg de una semilla cuestan 21 soles. La constante es 21/3 = 7 soles por kg.

Para 5 kg, el costo es 7 × 5 = 35 soles. La tabla (1,7), (3,21), (5,35) mantiene costo/masa = 7.

Esto supone que no hay cargo fijo ni descuentos por volumen. Si cambian esas condiciones, hay que revisar el modelo antes de usar una regla de tres.

La misma tarea, más personas

Cuatro personas completan una tarea en 15 horas. Bajo el mismo ritmo individual y trabajo perfectamente repartible, la tarea exige 4 × 15 = 60 persona-horas.

Con 6 personas, el tiempo t cumple 6t = 60, de modo que t = 10 horas.

No multiplicamos 15 por 6/4: eso haría crecer el tiempo al aumentar personas. La tarea fija exige usar 15 × 4/6.

1. Si 4 metros de cinta cuestan 18 soles a precio unitario constante, ¿cuál es la constante costo/longitud?

1. 72 soles por metro
2. 2/9 metros por sol
3. 4,5 soles por metro

2. Seis bombas iguales llenan un tanque en 8 horas. Sin pérdidas y con caudal constante, ¿cuánto tardan 4 bombas?

1. 10 horas
2. 12 horas
3. 16/3 horas

3. M es directamente proporcional a √t. Si M = 10 cuando t = 4, ¿cuánto vale M cuando t = 25?

1. 25
2. 62,5
3. 50