Interés compuesto y capitalización

El interés se incorpora a la base

En capitalización compuesta, al terminar cada periodo el interés se suma al saldo. El periodo siguiente calcula interés sobre ese nuevo saldo.

Si C es el capital, i la tasa efectiva por periodo y n el número de periodos, M = C(1 + i)ⁿ. El interés total sigue siendo I = M − C. En estos ejemplos no hay aportes, retiros, impuestos ni comisiones.

Tasa nominal y tasa efectiva son distintas

Una tasa nominal anual j capitalizable m veces por año se reparte como i = j/m por subperiodo. Si transcurren t años, hay n = mt subperiodos: M = C(1 + j/m)ᵐᵗ.

Una tasa efectiva anual ya incorpora el crecimiento de un año completo. Para obtener una efectiva semestral equivalente se usa (1 + i semestral)² = 1 + i anual; no se divide automáticamente entre dos.

Con tasa efectiva por subperiodo i y m subperiodos, la tasa efectiva anual es (1 + i)ᵐ − 1.

Compara simple y compuesto con cuidado

Para igual capital C, tasa por periodo i positiva y número entero de periodos n ≥ 2, el compuesto genera más que el simple. La diferencia aparece por el interés sobre intereses.

En un periodo ambos coinciden. No compares tasas efectivas de periodos distintos sin convertirlas a la misma duración.

Recuperar datos del crecimiento

Si conoces M, i y n, el capital es C = M/(1 + i)ⁿ. Para dos periodos, la tasa se recupera con 1 + i = √(M/C).

Para encontrar un número entero de periodos, compara potencias del factor. Si el problema pide el primer cierre de periodo que alcanza una meta, elige el menor entero n cuyo monto es al menos la meta.

Con inflación u otro crecimiento de referencia, comparar factores exige dividir, no restar porcentajes automáticamente: factor relativo = factor de monto/factor de precios.

Un aporte nuevo tiene su propio reloj

Si se agrega dinero justo después de una capitalización, ese aporte no gana los intereses anteriores. Puedes llevar saldos periodo a periodo o sumar los valores futuros de cada aporte.

Describe claramente el instante del aporte. Un depósito al inicio de un periodo recibe interés de ese periodo; uno al final todavía no lo recibe.

Dos años paso a paso

Coloca S/ 1000 al 10% efectivo anual durante 2 años, con capitalización anual.

1. Al terminar el primer año: 1000 × 1,10 = 1100 soles.
2. Al terminar el segundo: 1100 × 1,10 = 1210 soles. El segundo interés es 110, no 100.
3. M = 1000(1,10)² = 1210. Interés total: 1210 − 1000 = 210 soles.

Nominal anual capitalizable por semestres

Un capital de S/ 2500 tiene tasa nominal anual de 12%, capitalizable semestralmente, durante un año.

1. Hay m = 2 semestres. La tasa de cada semestre es i = 0,12/2 = 0,06.
2. M = 2500(1,06)² = 2809 soles.
3. La tasa efectiva anual es 1,06² − 1 = 0,1236 = 12,36%, superior al 12% nominal.

1. S/ 600 al 5% efectivo por periodo con capitalización compuesta: ¿cuál es el saldo tras el primer periodo?

1. S/ 630
2. S/ 30
3. S/ 605

2. S/ 1000 al 10% efectivo semestral se capitalizan durante 18 meses. ¿Qué monto resulta?

1. S/ 1300
2. S/ 1331
3. S/ 1210

3. Un monto de S/ 2420 se obtuvo en dos años al 10% efectivo anual compuesto. ¿Cuál fue el capital?

1. S/ 1980
2. S/ 2200
3. S/ 2000