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Divisibilidad
Detecta divisiones exactas, usa criterios y descompón números en factores primos.
Aprender este tema jugando →Lo que vas a aprender
- Distinguir divisores, múltiplos y números primos.
- Aplicar y justificar criterios de divisibilidad habituales.
- Usar restos y factores para resolver condiciones simultáneas.
Las ideas, paso a paso
Dividir exactamente
Decimos que 24 es divisible entre 6 porque 24 = 6 × 4: la división tiene residuo cero. Entonces 6 es divisor de 24 y 24 es múltiplo de 6.
Un divisor positivo de un número natural positivo no puede superarlo. Sus múltiplos positivos continúan sin fin: los de 6 son 6, 12, 18, 24…
Al dividir 25 entre 6, obtenemos 4 y sobra 1. La igualdad 25 = 6 × 4 + 1 muestra por qué 6 no divide exactamente a 25.
Criterios que ahorran trabajo
Un número es divisible entre 2 si su última cifra es par; entre 5 si termina en 0 o 5; y entre 10 si termina en 0.
Es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3, y entre 9 si esa suma es múltiplo de 9.
Para divisibilidad entre 4, revisa las dos últimas cifras; para 8, las tres últimas. Para 6, debe ser divisible a la vez entre 2 y 3.
Primos y factorización
Un número primo es un natural mayor que 1 con exactamente dos divisores positivos: 1 y él mismo. El 1 no es primo. El 2 es el único primo par.
Un compuesto tiene más de dos divisores positivos. Para factorizar 84: 84 = 2 × 42 = 2 × 2 × 21 = 2² × 3 × 7.
Para decidir si 29 es primo, basta probar primos hasta su raíz cuadrada: 2, 3 y 5. Ninguno lo divide, así que 29 es primo.
Cifras desconocidas y restos
Para encontrar una cifra, combina todas las condiciones. Si 5a2 debe ser múltiplo de 9, su suma de cifras 7 + a debe ser 9 o 18. Solo a = 2 es una cifra posible.
Si un número deja residuo r al dividirse entre d, se puede escribir d × k + r. El siguiente múltiplo de d se encuentra a d − r unidades, si r no es cero.
Los criterios sirven como filtros. Al terminar, sustituye la cifra y comprueba el número completo.
Cuenta divisores con exponentes
Si n = p² × q³ con primos distintos p y q, un divisor elige exponente 0, 1 o 2 para p, y 0, 1, 2 o 3 para q.
Hay 3 × 4 = 12 combinaciones. En general, para n = p^a × q^b, el número de divisores positivos es (a + 1)(b + 1).
Esta regla cuenta todos los divisores positivos, incluidos 1 y el propio n. No cuenta solo divisores primos.
Ejemplos resueltos
Busca divisores por parejas
Para encontrar los divisores positivos de 18, busca productos que den 18: 1 × 18, 2 × 9 y 3 × 6.
Los divisores son 1, 2, 3, 6, 9 y 18. Cada pareja aporta dos divisores.
No hace falta probar hasta 18: después de pasar la raíz cuadrada, las parejas se repiten en orden contrario.
Comprueba varias condiciones
¿Es 2 376 divisible entre 6 y entre 8?
Para 6: termina en 6, así que es par. La suma 2 + 3 + 7 + 6 = 18 es múltiplo de 3. Cumple ambos criterios, por lo que es divisible entre 6.
Para 8: sus tres últimas cifras forman 376 = 8 × 47. También es divisible entre 8. Son dos comprobaciones diferentes.
Practica y revisa tu razonamiento
1. ¿Qué afirmación sobre 7 y 42 es correcta?
- 42 es divisor de 7
- 7 es divisor de 42
- 7 es múltiplo de 42
Ver respuesta y explicación
B. 7 es divisor de 42
- 42 = 7 × 6.
- 7 es divisor de 42 y 42 es múltiplo de 7.
A. 42 no cabe un número entero de veces en 7; la relación va al revés.
B. 42 = 7 × 6, por lo que 7 divide exactamente a 42.
C. Los múltiplos positivos de 42 empiezan en 42, 84, 126…
2. ¿Cuál de estos números es divisible entre 9?
- 4 203
- 4 205
- 4 206
Ver respuesta y explicación
A. 4 203
- 4 + 2 + 0 + 3 = 9.
- 4 203 = 9 × 467.
A. Sus cifras suman 9, por lo que es divisible entre 9.
B. Sus cifras suman 11, que no es múltiplo de 9.
C. Sus cifras suman 12: es divisible entre 3, pero no entre 9.
3. ¿Cuál de estas cifras a hace que 7a2 sea divisible entre 9?
- 0
- 3
- 6
Ver respuesta y explicación
A. 0
- 9 + a debe ser 9 o 18.
- Entre las opciones dadas, a = 0 funciona: 702 = 9 × 78.
- También a = 9 funcionaría si se ofreciera; la pregunta pide elegir entre las alternativas.
A. 7 + 0 + 2 = 9, que es múltiplo de 9.
B. 7 + 3 + 2 = 12; alcanza para divisibilidad entre 3, pero no entre 9.
C. 7 + 6 + 2 = 15, que no es múltiplo de 9.
Fuentes y alcance
Material original de apoyo para admisión. Los cursos se comparten entre universidades; la ficha de cada institución indica qué materias corresponden a su ruta y qué parte del temario está verificada.
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