Aritmética complementaria

Fracciones y decimales racionales

Una fracción a/b con enteros a,b y b ≠ 0 es racional. Puede ser propia si 0 < a < b o impropia si a ≥ b, tomando denominador positivo; es aparente si representa un entero. Homogéneas tienen igual denominador y heterogéneas, distinto.

La división puede terminar, como 1/8 = 0,125, o repetir un bloque, como 1/3 = 0,333… Un decimal periódico puro empieza el período después de la coma; uno mixto tiene cifras no repetidas antes del período.

Para un decimal exacto, escribe el entero sin coma sobre una potencia de 10 y simplifica. En fracción irreducible, el decimal termina si el denominador solo contiene factores primos 2 y 5.

Suma tasas, no tiempos

Si un trabajador completa una tarea en T horas a ritmo constante, su tasa es 1/T tareas por hora. Para dos personas que trabajan a la vez sin interferencias, las tasas se suman: 1/T = 1/T₁ + 1/T₂.

Un desagüe resta tasa. Si entran 1/6 y 1/3 de tanque por hora y salen 1/12, la tasa neta es 5/12 por hora. El tiempo de un tanque es 12/5 horas.

La tasa debe ser positiva para llenar desde vacío. Si es cero, el nivel no aumenta; si es negativa, no se llena bajo ese modelo. Supón caudales constantes y simultáneos, y que no hay cambios por presión.

Criterios que faltaban

Para 7 puedes separar última cifra u y prefijo p: N = 10p + u es divisible entre 7 si y solo si p − 2u lo es. Por ejemplo, 203 → 20 − 6 = 14.

Para 11, suma cifras en posiciones alternas y resta ambas sumas. El resultado debe ser múltiplo de 11, incluido cero: 462 → 4 − 6 + 2 = 0.

Para 13, N = 10p + u es divisible si p + 4u lo es: 286 → 28 + 24 = 52 = 13 × 4. Estas transformaciones pueden repetirse y admiten resultados negativos.

Para 25, revisa las dos últimas cifras; para 125, las tres últimas. En general, 2ᵏ o 5ᵏ dividen a 10ᵏ, así que las últimas k cifras bastan para probar divisibilidad por esas potencias.

Soluciones enteras y divisores condicionados

La ecuación ax + by = c, con coeficientes enteros y a,b no ambos cero, tiene soluciones enteras si y solo si MCD(a,b) divide a c. Para exigir soluciones naturales o no negativas hace falta comprobar más condiciones.

6x + 9y = 24 sí admite enteros porque 3 divide a 24. Con x,y ≥ 0, puedes enumerar y = 0, 1, 2 y conservar x entero: salen (4,0) y (1,2).

Si N = 2³ × 3² y pides divisores múltiplos de 6, el exponente de 2 debe ser 1, 2 o 3 y el de 3 debe ser 1 o 2: 3 × 2 = 6 divisores. Para ser múltiplo de 12 = 2² × 3, serían 2 × 2 = 4.

El 1 no es primo ni compuesto. Las condiciones de divisibilidad y cantidad de divisores se aplican con sus dominios: un divisor positivo no puede ser cero, aunque cero sí sea múltiplo de un entero no nulo.

Euclides y cortes sin desperdicio

El algoritmo de Euclides conserva el MCD al reemplazar el par por divisor y residuo. Para 84 y 30: 84 = 2 × 30 + 24; 30 = 24 + 6; 24 = 4 × 6. El último divisor no nulo es 6.

Para cortar varias barras en piezas de máxima longitud igual sin sobrantes, usa el MCD de las longitudes. La cantidad de piezas de cada barra es longitud/MCD.

En una barra recta, obtener p piezas requiere p − 1 cortes, si cada corte separa una pieza y no se apilan barras. Con varias barras, suma piezas y resta la cantidad de barras originales.

Extremos, circuitos y cubos

En una fila abierta de longitud L dividida en intervalos de tamaño d, con postes en ambos extremos, hay L/d + 1 postes. En un circuito cerrado, el inicio y el final son el mismo lugar y hay L/d postes.

Para poner postes equidistantes en los vértices de un rectángulo, d debe dividir a cada lado. La mayor separación es el MCD de sus lados; después divide el perímetro entre d.

Para llenar exactamente una caja rectangular con cubos iguales alineados con sus aristas, la mayor arista del cubo es el MCD de las tres dimensiones. La cantidad es el producto de los cocientes de dimensiones entre esa arista.

El modelo supone que las medidas son compatibles, no hay espesor ni pérdidas de corte y la separación divide exactamente a cada tramo requerido.

Elimina un período con una resta

Sea x = 0,272727… Entonces 100x = 27,272727… Restando x: 99x = 27 y x = 27/99 = 3/11.

Para x = 0,16666…, el período empieza tras el 1. 10x = 1,6666… y 100x = 16,6666… Al restar: 90x = 15, así que x = 1/6.

Las multiplicaciones se eligen para alinear exactamente la parte que se repite. No recortes el decimal infinito como si fuera un decimal exacto.

Una misma cantidad con tres criterios

Comprueba 1001: para 7, 100 − 2(1) = 98, múltiplo de 7. Para 11, 1 − 0 + 0 − 1 = 0. Para 13, 100 + 4(1) = 104, múltiplo de 13.

En efecto, 1001 = 7 × 11 × 13. El cero en la suma alternada es un resultado válido: cero es múltiplo de cualquier entero positivo.

Si N deja residuo 4 al dividir entre 7, escribe N = 7k + 4. Entonces 3N = 21k + 12 = 7(3k + 1) + 5 y su residuo es 5. Los residuos se reducen otra vez al intervalo de 0 a 6.

1. ¿Qué fracción irreducible equivale a 0,125?

1. 1/125
2. 1/4
3. 1/8

2. ¿Cuál de estos números es divisible entre 7, 11 y 13 al mismo tiempo?

1. 1011
2. 1001
3. 1003

3. Cortas barras de 18, 30 y 42 cm en piezas de máxima longitud igual, sin sobrantes y sin apilar barras al cortar. ¿Cuántos cortes necesitas?

1. 12 cortes
2. 15 cortes
3. 6 cortes