Sistemas de tres incógnitas y regla de Cramer

Desde cero: determinante y Cramer 2×2

Una solución de un sistema satisface simultáneamente todas sus ecuaciones. Para ax + by = e y cx + dy = f, el determinante de coeficientes es D = ad − bc. Si D es distinto de cero, existe una solución única.

La regla de Cramer reemplaza una columna de coeficientes por los términos independientes conservando la otra. Para x: Dₓ = ed − bf. Para y: Dᵧ = af − ec. Entonces x = Dₓ/D e y = Dᵧ/D. El orden de las columnas y de las filas debe mantenerse. Si D = 0 no se puede dividir; hay que analizar si hay infinitas soluciones o ninguna.

Eliminar hasta un sistema triangular

En un sistema lineal de tres incógnitas, puedes intercambiar ecuaciones, multiplicar una ecuación por una constante no nula o sumar a una ecuación un múltiplo de otra. Estas operaciones conservan el conjunto de soluciones.

La eliminación busca una ecuación con tres incógnitas, otra con dos y una con una: es la forma triangular. Se resuelve desde abajo y se sustituyen los valores hacia arriba. Si aparece 0 = c con c no nulo, hay contradicción y no existe solución. Una fila 0 = 0 es redundante; en un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas lineales, debes revisar las demás filas y las variables libres.

Cramer 3×3 y verificación

Para una matriz de tres filas (a,b,c), (d,e,f), (g,h,i), el determinante es D = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg). La letra i aquí es un coeficiente real de la matriz, no la unidad imaginaria. Se calculan tres determinantes 2×2 y se alternan los signos +,−,+.

Cramer se extiende a tres incógnitas: Dₓ, Dᵧ y D_z reemplazan respectivamente las columnas de x, y y z por la columna de términos independientes. Si D ≠ 0, x = Dₓ/D, y = Dᵧ/D y z = D_z/D. Una matriz diagonal tiene determinante igual al producto de su diagonal.

Si D = 0, hay que volver a la eliminación: las ecuaciones x + y = 1 y 2x + 2y = 2 son dependientes y tienen infinitas soluciones; si el segundo término independiente fuese 3 serían incompatibles. En todos los casos la sustitución en las ecuaciones originales sirve como control.

Sigue el razonamiento

En 2x + y = 5 y x − y = 1: D = 2(−1) − 1·1 = −3. Dₓ = 5(−1) − 1·1 = −6. Dᵧ = 2·1 − 5·1 = −3.

Así x = 2 e y = 1. Sustituyendo: 2·2 + 1 = 5 y 2 − 1 = 1; ambas ecuaciones se cumplen.

Sigue el razonamiento

En x + y + z = 6; 2x − y + z = 3; x + 2y − z = 2, resta dos veces la primera ecuación a la segunda: −3y − z = −9. Resta la primera a la tercera: y − 2z = −4.

Suma a −3y − z = −9 tres veces y − 2z = −4: −7z = −21, así z = 3. Después y = 2 y x = 1. Comprueba los tres valores en las tres ecuaciones originales.

1. Para las filas de coeficientes (3,2) y (1,4), ¿cuál es el determinante?

1. 10
2. 14
3. −10
4. 5

2. En x + y + z = 6 y 2x + 3y − z = 4, ¿qué resulta de restar dos veces la primera ecuación a la segunda?

1. y − 3z = −8
2. y + z = −8
3. 4x + 5y + z = 16
4. y − 3z = 2

3. ¿Cuál es el determinante de la matriz con filas (2,0,0), (0,3,0), (0,0,4)?

1. 9
2. 24
3. 0
4. −24