Sistemas lineales: fundamentos

Dos condiciones al mismo tiempo

Un sistema lineal de dos variables reúne ecuaciones como x + y = 5 y 2x − y = 1. Resolverlo es encontrar pares (x,y) que satisfacen ambas simultáneamente.

El par (2,3) funciona: 2 + 3 = 5 y 4 − 3 = 1. Un par que solo cumple una ecuación no resuelve el sistema.

Una ecuación lineal tiene variables de primer grado sin productos entre ellas, como 3x − 2y = 7. x² + y = 7 o xy = 7 no son lineales.

Transformaciones que conservan soluciones

Puedes multiplicar una ecuación por un número no nulo o sumar a ella un múltiplo de la otra. Si conservas información equivalente, el conjunto solución no cambia.

Sistemas equivalentes tienen las mismas soluciones, aunque sus ecuaciones se vean distintas. Reemplazar ambas ecuaciones por una sola suma puede perder una condición.

Define qué representa cada variable y su unidad antes de modelar: x e y pueden contar personas, precios o longitudes, pero cada ecuación debe relacionar cantidades compatibles.

Sustitución y reducción

En sustitución, despeja una variable en una ecuación y reemplázala en la otra. Para x + y = 9 y x − y = 3, escribe x = 9 − y y sustituye: 9 − 2y = 3.

En reducción, suma o resta ecuaciones para eliminar una variable. Si sus coeficientes no son opuestos, multiplica antes una o ambas por factores adecuados.

Una vez hallada una variable, vuelve a una ecuación para calcular la otra. Entregar solo x no expresa el par completo, salvo que eso sea lo único pedido.

Igualación y lectura gráfica

En igualación, despeja la misma variable en ambas ecuaciones. Si y = 2x + 1 e y = 7 − x, iguala 2x + 1 = 7 − x.

Gráficamente, cada ecuación lineal representa una recta. Si se cortan en un punto, el sistema es compatible determinado: una solución. Si coinciden, es compatible indeterminado: infinitas.

Si son paralelas distintas, es incompatible: ninguna solución. Al reducir, 0 = 0 indica una condición repetida; 0 = k con k ≠ 0 indica contradicción. La clasificación requiere mirar el sistema completo.

Determinantes en dos por dos

Para ax + by = e y cx + dy = f, calcula D = ad − bc. Si D ≠ 0, hay solución única: x = (ed − bf)/D e y = (af − ec)/D.

Los numeradores se obtienen reemplazando la columna de la variable por los términos independientes. Mantén siempre el mismo orden de filas.

Si D = 0, las fórmulas no permiten dividir. Debes estudiar si las ecuaciones son compatibles indeterminadas o incompatibles; D = 0 por sí solo no distingue esos casos.

Modela dos relaciones independientes

En entradas con dos tarifas, una ecuación cuenta personas y otra suma el dinero. En una prueba con aciertos y errores, una cuenta respuestas y otra suma puntos con sus signos.

Un número de dos cifras con decena a y unidad b es 10a + b; el invertido es 10b + a. a debe estar entre 1 y 9 y b entre 0 y 9; si el invertido también tiene dos cifras, b no puede ser cero.

Para edades, el paso del tiempo se suma a cada edad real. Para rectángulos, el perímetro es 2(x + y), no xy. Las restricciones se comprueban después de resolver el sistema.

Comprueba un candidato

Para x + y = 7 y x − y = 1, probamos (4,3). Primer miembro: 4 + 3 = 7; segundo: 4 − 3 = 1. Cumple ambas.

Probamos (5,2): suma 7, pero diferencia 3. Solo cumple la primera y queda descartado.

El orden del par importa. (4,3) indica x = 4 e y = 3; intercambiarlo puede cambiar el resultado de las ecuaciones.

Elimina con coeficientes opuestos

Resuelve 2x + 3y = 12 y 4x − 3y = 6. Al sumar, 6x = 18, por lo que x = 3.

Sustituye en la primera: 6 + 3y = 12, de donde y = 2.

Comprobación: 2(3) + 3(2) = 12 y 4(3) − 3(2) = 6. El par (3,2) cumple las dos ecuaciones.

1. ¿Qué par resuelve x + y = 5 y 2x − y = 1?

1. (2,3)
2. (3,2)
3. (1,4)

2. Resuelve x + y = 9 y x − y = 3.

1. (3,6)
2. (9,3)
3. (6,3)

3. Resuelve por cualquier método 2x + y = 7 y x − y = 2.

1. (3,−1)
2. (3,1)
3. (1,3)