Sistemas lineales: tres variables y aplicaciones

Tres incógnitas, una solución compartida

Un sistema con x, y y z reúne condiciones que deben cumplirse al mismo tiempo. Su solución es una terna ordenada (x, y, z); cada posición corresponde siempre a la misma cantidad.

Una ecuación como x + y + z = 12 admite muchas ternas. Tres condiciones independientes pueden determinar una sola. Tener tres ecuaciones escritas no garantiza independencia: alguna puede repetir a las otras.

Reducir tres variables a dos

La reducción elimina una variable al sumar o restar ecuaciones. Si restas ecuaciones, resta todos los términos del segundo miembro y de cada miembro izquierdo.

Al obtener dos ecuaciones con dos variables, resuélvelas y recupera la tercera en una ecuación original. No elimines condiciones que todavía no has utilizado.

Operaciones que conservan soluciones

Puedes intercambiar ecuaciones, multiplicar una ecuación por un número distinto de cero o sumar a una ecuación un múltiplo de otra. Cada operación debe poder deshacerse.

Multiplicar por cero borra información. Sumar ecuaciones para obtener una nueva y descartar las anteriores también puede perder restricciones; conserva un sistema equivalente.

Única, infinitas o ninguna

Un sistema compatible determinado tiene una única solución. Uno compatible indeterminado tiene infinitas soluciones reales. Uno incompatible no tiene ninguna.

Al reducir, 0 = 0 es una identidad que no restringe más. Una igualdad como 0 = 5 es una contradicción y descarta todo el sistema. Tener una identidad no demuestra por sí sola infinitas soluciones: revisa las ecuaciones restantes.

Para dos incógnitas, el determinante ad − bc ayuda: si es distinto de cero, las rectas ax + by = e y cx + dy = f se cruzan en un único punto. Si es cero, hay que distinguir coincidencia de paralelismo.

Comprueba también el significado

En problemas de cantidades discretas, una familia de soluciones reales se filtra por enteros no negativos. Una condición como x ≥ 1 puede acotar aún más la familia.

En mezclas, define cantidades y conserva simultáneamente la cantidad total y el componente puro. Para contar personas o productos, verifica que no aparezcan fracciones de unidades indivisibles.

Resolver cuando las cantidades se relacionan

Tres cajas contienen 12 fichas. La segunda tiene una más que la primera y la tercera tiene dos más que la primera. ¿Cuántas hay en cada caja?

1. Define x, y, z en el orden de las cajas: x + y + z = 12, y = x + 1, z = x + 2.
2. Sustituye: x + (x + 1) + (x + 2) = 12. Entonces 3 x = 9 y x = 3.
3. Obtén y = 4 y z = 5. Verifica 3 + 4 + 5 = 12 y ambas diferencias.

Eliminación con una ecuación de referencia

Resuelve x + y + z = 10, 2 x + y + z = 13 y x + 2 y + 3 z = 23.

1. Resta la primera ecuación de la segunda: x = 3.
2. Sustituye en la primera: y + z = 7. En la tercera: 2 y + 3 z = 20.
3. Resta dos veces y + z = 7 de 2 y + 3 z = 20: z = 6. Luego y = 1.
4. Comprueba (3, 1, 6): suma 10; segundo total 13; tercer total 3 + 2 + 18 = 23.

1. ¿Qué terna satisface x + y + z = 9, x − y = 1 y z = 2?

1. (3, 4, 2)
2. (4, 2, 3)
3. (4, 3, 2)

2. Se tiene x + y + z = 14 y 3 x + y + z = 22. ¿Qué valor de x queda obligado?

1. 4
2. 8
3. 18

3. ¿Cuántas soluciones reales tiene x + y + z = 8, 2 x + 2 y + 2 z = 19 y x − y = 2?

1. Infinitas
2. Ninguna
3. Una