Números complejos: sumar, restar y multiplicar

Desde cero: una nueva unidad

En los números reales ningún cuadrado es negativo. Los números complejos amplían ese sistema: la unidad imaginaria i satisface i² = −1. Un complejo se escribe a + bi, con a y b reales. Su parte real es a y su parte imaginaria es el número b, no el término bi.

Dos complejos son iguales si coinciden sus dos partes. Para sumar o restar se agrupan por separado los términos reales y los que llevan i. Al restar un paréntesis cambia el signo de todos sus términos. Un número real también es complejo: tiene parte imaginaria cero.

Multiplicar y reducir potencias

La multiplicación conserva la propiedad distributiva. Multiplica cada término del primer paréntesis por cada término del segundo; después sustituye i² por −1 y agrupa. Así, (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.

Las potencias de i se repiten cada cuatro exponentes: i, −1, −i, 1. Para una potencia con exponente entero no negativo, usa el residuo de dividir el exponente entre 4; residuo cero corresponde a 1. No se suman exponentes al sumar términos: esa regla se usa al multiplicar potencias de la misma base.

Conjugado y comprobaciones

El conjugado de z = a + bi es a − bi: conserva la parte real y cambia el signo de la parte imaginaria. La suma de un complejo y su conjugado es 2a. Su producto es a² + b², un real no negativo; si z no es cero, ese producto es positivo.

El módulo de a + bi es √(a² + b²), la distancia del punto (a,b) al origen en el plano complejo. El conjugado refleja ese punto respecto del eje real. En ecuaciones como x² + k = 0, con k positivo, las raíces son ±√k·i; compruébalas elevando al cuadrado.

Sigue el razonamiento

Para (3 + 2i) + (−1 + 5i), suma 3 − 1 = 2 y 2 + 5 = 7: resulta 2 + 7i.

En (3 + 2i) − (−1 + 5i), primero distribuye el signo: 3 + 2i + 1 − 5i = 4 − 3i. La resta cambia ambos signos.

Sigue el razonamiento

(2 + i)(3 − 2i) = 6 − 4i + 3i − 2i² = 6 − i + 2 = 8 − i.

Como 14 = 4·3 + 2, i¹⁴ = i² = −1. El ciclo permite comprobar sin multiplicar catorce veces.

1. ¿Cuál es la parte imaginaria de 7 − 4i?

1. −4
2. −4i
3. 7
4. 4

2. ¿Cuánto vale i⁶?

1. −1
2. 1
3. i
4. −i

3. ¿Cuál es el conjugado de −2 + 5i?

1. 2 − 5i
2. −2 − 5i
3. 2 + 5i
4. −5 + 2i