Intervalos y conjuntos de números

Un intervalo reúne números

Un intervalo real contiene todos los números entre dos extremos: enteros, decimales y fracciones. No es solo una lista de enteros.

En [a, b], ambos extremos se incluyen. En (a, b), ambos se excluyen. Puedes combinar: (a, b] excluye a e incluye b. En la recta, punto lleno significa incluido y punto vacío significa excluido.

Para no depender del símbolo, traduce: (−2, 3] significa −2 < x ≤ 3. Los paréntesis también se escriben a veces como corchetes invertidos; aquí usamos paréntesis.

Intersección: cumplir las dos condiciones

A ∩ B reúne los números que pertenecen a A y también a B. En la recta, es la parte compartida. La palabra y suele indicar intersección.

A ∪ B reúne lo que pertenece al menos a uno de los conjuntos. La palabra o suele indicar unión inclusiva: también se admiten los que están en ambos.

Cuando un punto decide si hay hueco

[0, 2] ∪ (2, 5] = [0, 5] porque el 2 está en el primer intervalo.

En cambio, [0, 2) ∪ (2, 5] no contiene 2: hay un hueco y la unión no se puede escribir como un único intervalo sin cambiar el conjunto.

Si dos intervalos solo se tocan en un extremo, su intersección contiene ese punto únicamente cuando ambos lo incluyen.

Diferencia y complemento

A − B contiene lo que está en A pero no en B. El orden importa: A − B y B − A suelen ser distintos.

El complemento depende del universo. Si U = [0, 10] y A = [3, 6), entonces U − A = [0, 3) ∪ [6, 10]. El 3 se quita porque estaba en A; el 6 se conserva porque no estaba en A.

De lo real a un conteo

Si una solución es x ∈ (1, 5] y x cuenta personas, se admiten solo 2, 3, 4 y 5. La variable de contexto puede restringir un intervalo real a enteros.

La longitud de un intervalo acotado entre a y b es b − a aunque algún extremo se excluya. Esto mide extensión, no cantidad de puntos.

De una condición al intervalo

Una temperatura debe ser mayor que 4 °C y no superar 9 °C. La condición es 4 < t ≤ 9.

El intervalo es (4, 9]. El 4 se excluye porque se exige mayor; el 9 se incluye porque no superar permite ser igual. 4,1 y 8,75 también pertenecen.

Una zona compartida y una zona total

Sea A = [−2, 4] y B = (1, 7). Para A ∩ B toma la zona común: (1, 4]. El 1 no entra porque B lo excluye; el 4 sí entra en ambos.

Para A ∪ B toma toda la zona cubierta por cualquiera: [−2, 7). No hay hueco porque los intervalos se superponen.

1. ¿Qué intervalo representa −1 < x ≤ 4?

1. [−1, 4]
2. (−1, 4]
3. (−1, 4)

2. Si A = [0, 6] y B = [4, 9), ¿cuál es A ∩ B?

1. [0, 9)
2. [4, 6]
3. (4, 6)

3. ¿Cuál es [0, 8] − [3, 5)?

1. [0, 3] ∪ [5, 8]
2. [0, 3) ∪ [5, 8]
3. [3, 5)