Funciones y gráficas

Una entrada, una salida

Una función asigna a cada elemento de su dominio exactamente una salida. Dos entradas distintas pueden tener la misma salida; lo que no se permite es que una misma entrada tenga dos salidas diferentes. El dominio reúne entradas permitidas y el rango reúne salidas realmente obtenidas.

La notación f(3) pide el valor de la función cuando su entrada es 3; no significa f por 3. Para evaluar una fórmula, sustituye la variable completa por la entrada. En una gráfica cartesiana, cualquier recta vertical debe cortar la gráfica de una función a lo sumo una vez.

Dominios y composición

Un polinomio admite cualquier entrada real. Una fracción exige denominador no nulo; una raíz cuadrada real exige radicando no negativo. Si se combinan operaciones, deben satisfacerse todas las restricciones.

La composición (f∘g)(x)=f(g(x)) aplica primero g y después f. La salida de g debe pertenecer al dominio de f. El orden suele importar: componer no es lo mismo que multiplicar funciones. Una función inversa deshace la original cuando existe una correspondencia uno a uno en los conjuntos elegidos.

Lee la forma de la gráfica

Una función crece en un intervalo si al aumentar la entrada también aumenta la salida. La pendiente de una recta mide cambio de salida por cambio de entrada. En una cuadrática, el vértice marca un mínimo cuando a>0 o un máximo cuando a<0.

Si sustituyes x por x−h en f, la gráfica se traslada h unidades a la derecha; sumar k fuera de f la traslada k hacia arriba. Una función par satisface f(−x)=f(x) y tiene simetría respecto del eje y. Una impar satisface f(−x)=−f(x) y tiene simetría respecto del origen.

Sigue el razonamiento

Sea f(x)=2x²−1. Para x=−3: f(−3)=2(−3)²−1=18−1=17.

Las entradas 3 y −3 tienen la misma salida 17. Esto no impide que f sea función: cada entrada sigue teniendo una salida única.

Sigue el razonamiento

Para h(x)=√(x−2)/(x−5), se exige x−2≥0 y x−5≠0. Por tanto x≥2 y x≠5.

Si f(x)=2x+1 y g(x)=x², entonces f(g(3))=f(9)=19. En cambio g(f(3))=g(7)=49.

1. ¿Cuál relación, escrita como pares (entrada,salida), NO es función?

1. {(0,5),(1,6),(2,7)}
2. {(1,2),(2,2),(3,2)}
3. {(−1,1),(0,0),(1,1)}
4. {(1,2),(1,3),(2,4)}

2. ¿Cuál es el dominio real de f(x)=√(x+4)?

1. Todos los reales salvo −4
2. x>−4
3. x≤−4
4. x≥−4

3. ¿Cuál es el vértice de y=(x+1)²−4?

1. (0,−4)
2. (1,−4)
3. (−1,4)
4. (−1,−4)