Funciones lineales y afines

Una entrada tiene una sola salida

Una función asigna a cada entrada permitida exactamente una salida. El dominio reúne las entradas; la imagen o rango reúne las salidas que efectivamente se obtienen. El conjunto de llegada puede ser más amplio que la imagen.

En y = mx + b, x es entrada e y salida. La pendiente m describe cuánto cambia y al aumentar x una unidad. b es la salida para x = 0.

Aquí distinguimos lineal y = mx, que pasa por el origen, y afín y = mx + b. En el uso cotidiano también se llama lineal a cualquier modelo cuya gráfica sea una recta.

Construye la recta desde dos puntos

Para puntos (x₁,y₁) y (x₂,y₂) con x₁ ≠ x₂, m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Luego usa cualquiera de los puntos para encontrar b = y₁ − mx₁.

El cero o raíz de una función es una entrada que da salida cero. Para mx + b con m ≠ 0, se obtiene resolviendo mx + b = 0.

El dominio depende del contexto. Una cantidad de paquetes puede exigir enteros no negativos; un tiempo puede admitir reales no negativos. La gráfica matemática completa y el modelo contextual no siempre tienen el mismo dominio.

Rectas y restricciones en una tabla

Una tabla de x e y permite calcular pendientes entre pares. Si para aumentos iguales de x los cambios de y son iguales, es compatible con una recta.

La imagen se obtiene aplicando la regla al dominio, no copiando siempre todos los números reales. Si f(x) = 2 x + 1 y 0 ≤ x ≤ 3, las salidas van de 1 a 7, incluidos ambos extremos.

Dos modelos se encuentran en un sistema

Para comparar f(x) y g(x), iguala sus expresiones. La solución indica la entrada donde ambas salidas coinciden. Después interpreta qué modelo es mayor a cada lado.

Rectas con la misma pendiente y distinto b nunca se cruzan. Con pendiente e intercepto iguales coinciden en todos sus puntos.

Un punto de equilibrio en costos e ingresos no implica ganancia positiva: significa ingreso igual a costo. Las restricciones pueden obligar a superar un número entero de unidades.

Resuelve hacia atrás sin cambiar la función

Si y = mx + b y m ≠ 0, puedes recuperar la entrada x = (y − b)/m. Es una operación inversa, no una sustitución de x por y sin despejar.

Antes de usar una recta fuera de los datos, verifica si el contexto permite extrapolar. Un tramo de tarifa o una capacidad máxima puede limitar el modelo.

Lee una regla y construye su tabla

Para f(x) = 2 x + 3, calcula f(−1), f(0) y f(2).

1. f(−1) = 2(−1) + 3 = 1. f(0) = 3. f(2) = 7.
2. Los puntos (−1,1), (0,3) y (2,7) están sobre la misma recta.
3. Por cada aumento de una unidad en x, y aumenta dos. El valor inicial, al entrar cero, es tres.

Una tarifa a partir de dos mediciones

Un servicio hipotético cobra S/ 11 por 2 km y S/ 23 por 6 km. Si el modelo es afín, halla la regla.

1. m = (23 − 11)/(6 − 2) = 12/4 = 3 soles por km.
2. Usa (2,11): 11 = 3(2) + b, así que b = 5 soles.
3. La regla es C(x) = 3 x + 5. Verifica C(6) = 23. El contexto admite x ≥ 0.

1. Si f(x) = 3 x − 2, ¿cuánto vale f(4)?

1. 10
2. 6
3. 14

2. ¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por (1,4) y (5,12)?

1. 8
2. 2
3. 1/2

3. A cobra 6 + 2 x soles y B cobra 3 x soles para x ≥ 0. ¿En qué x cobran igual?

1. 3
2. 18
3. 6