Funciones exponenciales

Repetir un factor cambia el modelo

En un crecimiento exponencial, cada periodo multiplica por el mismo factor. Un valor de 40 que se duplica sigue 40, 80, 160, 320; las diferencias no son constantes.

Un modelo básico es f(t) = A × bᵗ, con A > 0 y b > 0. A es el valor cuando t = 0. Si b > 1 hay crecimiento; si 0 < b < 1 hay decrecimiento. Para llamarlo exponencial variable se excluye b = 1.

La unidad de t importa: si b representa un cambio semanal, t cuenta semanas.

Porcentajes que se repiten

Aumentar r por periodo corresponde al factor 1 + r si r está expresado como decimal. Un 10% de aumento usa 1,10. Disminuir 10% usa 0,90.

El porcentaje se aplica al valor actualizado cada vez. Dos aumentos de 10% dan factor 1,10² = 1,21: aumento total 21%, no 20%.

Ubica puntos y una barrera horizontal

En A × bᵗ con A > 0, el valor es siempre positivo. Si 0 < b < 1, se acerca a cero al aumentar t, pero no llega a cero en un número finito de periodos según ese modelo.

Agregar c desplaza la gráfica verticalmente. En f(t) = 8 × (1/2)ᵗ + 3, los valores se acercan a 3 desde arriba, y f(0) = 11.

Comparar modelos exige el mismo instante

Un modelo lineal suma una cantidad constante por periodo; uno exponencial multiplica por un factor constante. Para compararlos evalúa ambos en el mismo t.

Que una exponencial creciente termine superando a una recta no significa que ya sea mayor desde t = 0. El punto de comparación y los valores iniciales importan.

Los datos no garantizan una ley para siempre

Un conjunto de datos puede ajustarse a un modelo durante un intervalo. Fuera de él, recursos, espacio y otras condiciones pueden invalidar el crecimiento constante por factor.

Un modelo con base negativa no es una función exponencial real definida para todo real t: algunos exponentes producirían valores no reales. En la forma usual se exige base positiva.

Construye el modelo desde una frase

Una colonia de un cultivo simulado empieza con 30 unidades y se triplica cada periodo. En t = 0 hay 30; en t = 1 hay 90; en t = 2 hay 270.

El modelo es N(t) = 30 × 3ᵗ. A los tres periodos: 30 × 27 = 810. El exponente cuenta multiplicaciones desde el instante inicial, no la cantidad de datos escritos.

Una reducción repetida

Un equipo cuesta inicialmente 2000 soles en un modelo y pierde 20% de su valor por año. Conserva el 80%: V(t) = 2000 × 0,8ᵗ.

Al segundo año: V(2) = 2000 × 0,64 = 1280. No restamos dos veces el 20% de 2000, porque el segundo descuento se aplica al valor de 1600.

1. En f(t) = 25 × 2ᵗ, ¿cuánto vale f(0)?

1. 0
2. 25
3. 50

2. Una cantidad de 100 aumenta 10% por periodo. ¿Cuál es su valor tras dos periodos?

1. 120
2. 121
3. 110

3. A(t) = 10 + 10t y B(t) = 5 × 2ᵗ. ¿Qué ocurre en t = 3?

1. A = 40 y B = 40
2. B ya supera a A
3. A = 30 y B = 40