Funciones cuadráticas

La potencia dos cambia la forma

Una función cuadrática tiene forma f(x) = ax² + bx + c, con a ≠ 0. Su gráfica es una parábola: abre hacia arriba si a > 0 y hacia abajo si a < 0.

El término c es f(0), el corte con el eje vertical. Un número negativo elevado al cuadrado da positivo: (−3)² = 9, pero −3² significa −(3²) = −9 si no hay paréntesis.

Si no se restringe el contexto, el dominio de un polinomio cuadrático es todo R. La imagen, en cambio, tiene un mínimo o un máximo.

Vértice y raíces responden preguntas distintas

El eje de simetría es xᵥ = −b/(2 a). La ordenada del vértice es yᵥ = f(xᵥ). Este punto es mínimo si a > 0 y máximo si a < 0.

Las raíces son entradas que hacen f(x) = 0. El discriminante Δ = b² − 4 ac indica cuántas raíces reales hay: dos si Δ > 0, una doble si Δ = 0 y ninguna si Δ < 0.

Si no factoriza fácilmente, x = (−b ± √Δ)/(2 a). Una raíz doble no son dos puntos de corte: la parábola toca el eje en un único punto.

El dominio puede cortar el extremo

Para hallar la imagen en un intervalo cerrado, evalúa sus extremos y el vértice solo si está dentro. El mayor y el menor entre esos valores determinan la imagen.

No uses automáticamente el vértice global si el contexto lo excluye. En una altura modelada por una parábola, los tiempos físicamente válidos suelen limitarse entre el lanzamiento y la llegada al suelo.

La parábola como modelo de una decisión

Si un rectángulo tiene perímetro fijo 2 x + 2 y = P, despeja y = P/2 − x. Su área A(x) = x(P/2 − x) es cuadrática y tiene un dominio físico: ambos lados positivos.

En una altura h(t) = at² + bt + c, el vértice da un extremo matemático; para una altura inicial no negativa y a < 0 puede dar la altura máxima durante el vuelo. Las unidades de cada coeficiente deben hacer que todos los términos sean alturas.

Entre raíces: estudia el signo

Si f(x) = a(x − r₁)(x − r₂) con r₁ < r₂, cambia el signo al cruzar cada raíz simple. Para a > 0 es negativa entre raíces y positiva fuera; para a < 0 ocurre al revés.

Si la pregunta pide f(x) ≥ 0, incluye las raíces. Si exige f(x) > 0, exclúyelas. Después aplica restricciones como tiempos no negativos o cantidades enteras.

Una tabla simétrica

Construye tres valores de f(x) = x² − 4 x + 5.

1. f(1) = 1 − 4 + 5 = 2. f(2) = 4 − 8 + 5 = 1. f(3) = 9 − 12 + 5 = 2.
2. Las entradas 1 y 3 están a igual distancia de 2 y dan la misma salida.
3. Completando el cuadrado: f(x) = (x − 2)² + 1. El mínimo es 1 y ocurre en x = 2.

Factorización y vértice en el mismo modelo

Para f(x) = x² − 6 x + 8, encuentra raíces y vértice.

1. Factoriza: x² − 6 x + 8 = (x − 2)(x − 4). Las raíces son 2 y 4.
2. El eje pasa por el punto medio: xᵥ = (2 + 4)/2 = 3. También −b/(2 a) = 6/2 = 3.
3. f(3) = 9 − 18 + 8 = −1; vértice (3,−1). Como a > 0, la imagen completa es y ≥ −1.

1. Para f(x) = x² + 2 x − 3, ¿cuánto vale f(−2)?

1. −11
2. 5
3. −3

2. ¿Cuáles son las raíces de f(x) = x² − 5 x + 6?

1. 2 y 3
2. −2 y −3
3. 1 y 6

3. Una altura en metros se modela por h(t) = −t² + 6 t + 7 para 0 ≤ t ≤ 7 segundos. ¿Cuál es la altura máxima?

1. 3 m
2. 16 m
3. 7 m