Expresiones algebraicas

Qué representa cada parte

En −7x²y, −7 es el coeficiente y x²y es la parte literal. x e y son variables; sus exponentes describen cuántos factores aparecen. Un coeficiente puede ser fraccionario o negativo.

Un monomio polinómico es un solo término con exponentes enteros no negativos en sus variables. Un polinomio es una suma finita de esos monomios; puede tener uno o varios términos. Binomio y trinomio indican dos y tres términos no nulos.

Una expresión racional puede incluir divisiones por expresiones con variables, como 1/x, pero eso no la convierte en polinomio. Una expresión con una variable dentro de un radical no reducible, como √x, es algebraica irracional en esta clasificación.

Grado de un término y de un polinomio

El grado relativo de 5x³y² respecto de x es 3 y respecto de y es 2. Su grado absoluto es 3 + 2 = 5. El coeficiente 5 no se suma al grado.

En un polinomio ya reducido, el grado relativo es el mayor exponente de esa variable y el absoluto es el máximo grado total de sus términos. En x²y + y⁴, el grado absoluto es 4, no 7.

El polinomio cero requiere una convención aparte para su grado. Aquí trabajaremos con expresiones no nulas y reduciremos términos antes de determinarlo.

Términos semejantes

Dos términos son semejantes si sus partes literales coinciden exactamente, incluidos los exponentes. 3x²y y −5x²y lo son; 3xy² no lo es con ellos.

Al sumar semejantes, opera los coeficientes y conserva la parte literal: 3x²y − 5x²y = −2x²y. No sumes exponentes en una suma.

Para restar un polinomio, distribuye el signo menos a todos sus términos. En expresiones con corchetes y llaves, resuelve desde la agrupación interior o distribuye con cuidado equivalente.

Productos y cocientes de monomios

En un producto, multiplica coeficientes y suma exponentes de la misma base: (2x²y)(−3xy³) = −6x³y⁴.

En un cociente con denominador no nulo, divide coeficientes y resta exponentes de bases iguales. x⁵/x² = x³ exige x ≠ 0 por la expresión original.

En potencias, (x²)³ = x⁶, mientras que x² + x³ no se reduce a una sola potencia. La regla depende de la operación que conecta las expresiones.

Homogeneidad y productos notables

Un polinomio homogéneo tiene todos sus términos del mismo grado absoluto. x²y + xy² es homogéneo de grado 3; x² + y³ no lo es.

Identidades útiles: (a + b)² = a² + 2ab + b²; (a − b)² = a² − 2ab + b²; (a + b)(a − b) = a² − b².

Para factorizar, recorre estas identidades al revés o extrae el factor común de todos los términos. La equivalencia se verifica al volver a multiplicar.

Agrupar revela estructura

6x² − 9x contiene el factor común 3x: 3x(2x − 3). Extraerlo no significa dividir la expresión completa y perderlo: el factor queda multiplicando.

En (x² − 9)/(x − 3), factoriza el numerador y cancela el factor x − 3 solo con la restricción x ≠ 3. El resultado es x + 3 en ese dominio.

No canceles términos dentro de sumas: (x + 3)/x no se vuelve 3. La cancelación corresponde a factores completos, no a símbolos repetidos en posiciones distintas.

Sustituye un negativo con paréntesis

Calcula P(x) = 3x² − 2x + 4 para x = −2. La sustitución es 3(−2)² − 2(−2) + 4.

Primero la potencia: (−2)² = 4. Después los productos: 12 + 4 + 4 = 20.

El coeficiente de x no cambia la regla de signos. Escribir 3 × −2² sin agrupar puede hacer que la potencia se interprete sobre 2 y no sobre el valor completo sustituido.

Dos signos de resta

Simplifica 3x − [2 − (x − 4)]. Primero, 2 − (x − 4) = 2 − x + 4 = 6 − x.

Luego 3x − (6 − x) = 3x − 6 + x = 4x − 6.

Comprobación numérica con x = 2: la expresión original vale 6 − [2 − (−2)] = 2; el resultado 8 − 6 también vale 2. Una coincidencia no demuestra identidad, pero puede detectar errores.

1. ¿Cuál es el coeficiente de −7x²y?

1. 7
2. 2
3. −7

2. Simplifica 3x²y − 5x²y + 7xy².

1. −2x⁴y² + 7xy²
2. −2x²y + 7xy²
3. 5x²y

3. Para que xᵃy² + x³y sea homogéneo, con a entero no negativo, ¿cuánto vale a?

1. 2
2. 3
3. 4