Exponentes racionales y operaciones con radicales

Desde cero: exponente y raíz

Para a positivo y enteros m y n con n positivo, el exponente racional se define por a^(m/n) = (ⁿ√a)^m. El denominador indica la raíz y el numerador la potencia. Un exponente negativo añade un recíproco: a^(−m/n) = 1/a^(m/n).

En los reales, una raíz de índice par requiere radicando no negativo y representa la raíz principal no negativa. Las raíces de índice impar sí admiten radicando negativo. Por ejemplo, ∛(−8) = −2. La igualdad √(x²) = |x| evita perder esta condición cuando x es negativo. Aquí las leyes de exponentes fraccionarios se aplican a bases positivas; no se extienden sin revisar dominio a bases negativas.

Simplificar y reunir términos

Un factor cuadrado perfecto puede salir de una raíz cuadrada: √(ab) = √a·√b para a y b no negativos. Así, √72 = √(36·2) = 6√2. En un cociente, √(a/b) = √a/√b si a es no negativo y b positivo.

Los radicales semejantes tienen el mismo índice y el mismo radicando después de simplificar. Se suman sus coeficientes: 2√3 + 5√3 = 7√3. No hay una regla que permita repartir una raíz sobre una suma: √(a + b) generalmente no es √a + √b. En multiplicaciones sí puedes juntar factores bajo la raíz con las condiciones indicadas.

Racionalizar sin cambiar el valor

Racionalizar consiste en escribir una fracción equivalente sin radicales en su denominador. Multiplica numerador y denominador por el mismo número no nulo. Para 1/√a con a positivo, multiplica por √a/√a: resulta √a/a.

Si el denominador es un binomio, usa su conjugado: a + √b se empareja con a − √b. Su producto es a² − b por diferencia de cuadrados. Comprueba que el denominador original y el factor por el que multiplicas no sean cero. Racionalizar cambia la forma de escritura, no el valor del número.

Sigue el razonamiento

16^(3/4): la cuarta raíz de 16 es 2; luego 2³ = 8. En 25^(−1/2), la raíz cuadrada es 5 y el recíproco es 1/5.

Si x = −3, √(x²) = √9 = 3 = |−3|. Escribir simplemente x produciría −3, que no es la raíz principal.

Sigue el razonamiento

√50 + √8 = 5√2 + 2√2 = 7√2. Primero se simplificó cada raíz; luego se sumaron los coeficientes.

√6·√24 = √144 = 12. En cambio √(9 + 16) = 5, mientras √9 + √16 = 7: la distribución sobre la suma no funciona.

1. ¿Cuánto vale 27^(2/3)?

1. 3
2. 18
3. 6
4. 9

2. Simplifica √48.

1. 24
2. 16√3
3. 3√4
4. 4√3

3. Racionaliza 2/√3.

1. √6/3
2. 2√3
3. 2√3/3
4. 2/3