Ecuaciones e inecuaciones lineales

Una igualdad que debe equilibrarse

Una ecuación afirma que dos expresiones son iguales. Resolver x + 3 = 11 significa encontrar los valores de x que hacen verdadera esa igualdad.

Puedes sumar o restar la misma cantidad en ambos miembros sin cambiar las soluciones. También puedes multiplicar o dividir ambos por el mismo número distinto de cero.

La incógnita es una cantidad desconocida. El signo igual expresa equilibrio entre dos valores, no una orden para escribir el siguiente cálculo.

Paréntesis y términos semejantes

La distributiva multiplica cada término: 3(x − 2) = 3x − 6. Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de todos sus términos.

Cuando hay x en ambos miembros, resta una misma expresión para reunirlas en un lado. Después reúne los números en el otro.

En una ecuación con fracciones puedes multiplicar ambos miembros por un denominador común para eliminarlas. Multiplica todos los términos, no solo algunos.

Una ecuación puede tener distinto tipo de solución

Si al simplificar aparece 0x = 0, la igualdad es verdadera para cualquier x: tiene infinitas soluciones. Ejemplo: 2(x + 1) = 2x + 2.

Si aparece 0x = 5, ningún valor de x funciona: no tiene solución. Ejemplo: 2x + 1 = 2x + 6.

No dividas entre el coeficiente si es cero. Primero interpreta la igualdad que quedó.

De la igualdad al límite

Una inecuación expresa una comparación: <, >, ≤ o ≥. Su solución suele ser un conjunto de valores, no un único número.

Sumar o restar lo mismo conserva la comparación. Multiplicar o dividir por un número positivo también la conserva. Si el número es negativo, invierte el signo: de −2x < 6 resulta x > −3.

≤ y ≥ incluyen la igualdad. En una recta se usa punto cerrado para incluir el extremo y abierto para excluirlo.

Dos límites y el contexto

La condición −2 < x ≤ 4 exige cumplir ambos límites al mismo tiempo. El extremo −2 se excluye y el 4 se incluye.

Si 2 < x < 7 y x cuenta personas, las opciones son 3, 4, 5 y 6. Si x es una longitud real, también se admiten decimales entre los límites.

Antes de redondear una solución, decide si buscas mínimo o máximo y qué valores permite la variable. No puede haber una fracción de persona en un conteo.

Deshacer una suma

Resuelve x + 5 = 13. Restamos 5 a ambos miembros: x + 5 − 5 = 13 − 5. Queda x = 8.

Comprobamos sustituyendo en la ecuación original: 8 + 5 = 13. La igualdad es verdadera.

Decir que el 5 pasa restando es un atajo de lenguaje. La razón es que restamos 5 a ambos lados.

Incógnitas en ambos miembros

Resuelve 3(x − 2) + 4 = 2x + 9.

Distribuye: 3x − 6 + 4 = 2x + 9; simplifica: 3x − 2 = 2x + 9. Resta 2x y suma 2 en ambos miembros: x = 11.

Comprobación: 3(11 − 2) + 4 = 31 y 2(11) + 9 = 31.

1. Resuelve x − 7 = 12.

1. 5
2. 19
3. −19

2. Resuelve 2(x + 3) = 18.

1. 6
2. 7,5
3. 12

3. Resuelve −3x + 6 ≥ 15.

1. x ≥ −3
2. x ≤ −3
3. x ≤ 3