Ecuaciones cuadráticas

Reconoce el segundo grado

La forma general es ax² + bx + c = 0, con números reales y a ≠ 0. Primero desarrolla y reúne términos: una x² aparente puede cancelarse.

Es completa cuando b y c son distintos de cero. Es incompleta cuando falta el término lineal, el independiente o ambos. El coeficiente de x² sigue siendo no nulo.

Una raíz es un valor que hace cero la expresión. x² = 16 tiene dos raíces reales, 4 y −4: elevar cualquiera al cuadrado produce 16.

Factoriza y aplica producto nulo

Para x² + bx + c, busca números u y v con u + v = b y uv = c: el producto (x + u)(x + v) reproduce el trinomio.

Si a ≠ 1, verifica también el término central al multiplicar. Por ejemplo, (2x − 1)(x + 3) = 2x² + 5x − 3.

La suma de raíces es −b/a y su producto c/a. Estos controles ayudan a detectar un signo incorrecto sin sustituir todos los valores.

Un método general

Completar cuadrados transforma x² + 6x + 5 = 0 en (x + 3)² = 4: sumamos 9 a x² + 6x y compensamos la diferencia. Así x + 3 = ±2 y las raíces son −1 y −5.

La fórmula general es x = [−b ± √(b² − 4ac)]/(2a). Todo el numerador se divide entre 2a.

El discriminante Δ = b² − 4ac decide las raíces reales: Δ > 0 da dos distintas; Δ = 0 da una raíz doble; Δ < 0 no da raíces reales. Una raíz doble es un solo valor repetido en los factores.

La ecuación y el contexto

Un rectángulo con ancho x y largo x + 3 tiene área x(x + 3). Si una raíz es negativa, puede resolver la ecuación sin representar una longitud admisible.

Si aparece 1/x o 1/(x − 2), registra x ≠ 0 y x ≠ 2 antes de multiplicar denominadores. La ecuación obtenida debe comprobarse en las expresiones iniciales.

Para construir una ecuación a partir de raíces r y s, usa (x − r)(x − s) = 0. La suma y el producto permiten hallar parámetros sin desarrollar cálculos innecesarios.

Modela sin adivinar la raíz útil

Si dos edades positivas suman S y su producto es P, pueden representarse como raíces de t² − St + P = 0. El enunciado debe indicar quién es mayor para asignar nombres.

En un marco interior de ancho x, las dimensiones útiles de un rectángulo L por A son L − 2x y A − 2x. Además de x > 0, exige 2x < min(L,A).

No basta con rechazar una raíz por parecer grande: comprueba la restricción geométrica o económica exacta.

No pierdas una raíz

Resuelve x² − 6x = 0. Saca el factor común x: x(x − 6) = 0.

Un producto es cero si alguno de sus factores es cero. Por tanto, x = 0 o x − 6 = 0, de donde x = 6.

Dividir al inicio entre x perdería la raíz 0 porque esa división solo sería válida suponiendo x ≠ 0. La factorización conserva ambos casos.

Dos factores, dos raíces

Resuelve 2x² + x − 6 = 0. Factorizamos: (2x − 3)(x + 2) = 0.

2x − 3 = 0 da x = 3/2; x + 2 = 0 da x = −2. La expansión verifica el término central: 4x − 3x = x.

Suma: 3/2 − 2 = −1/2 = −b/a. Producto: (3/2)(−2) = −3 = c/a.

1. ¿Cuál de estas ecuaciones es cuadrática completa en su forma escrita?

1. 3x² − 12 = 0
2. 2x² − 3x + 1 = 0
3. 4x − 7 = 0

2. ¿Qué conjunto resuelve x² − 7x + 10 = 0?

1. {2; 5}
2. {−5; −2}
3. {1; 10}

3. Un rectángulo tiene ancho x y largo x + 4, en metros. Su área es 60 m². ¿Cuál es el ancho?

1. 10 m
2. −10 m
3. 6 m