Binomio de Newton, residuo y factor

Desde cero: expandir una potencia

Un polinomio suma términos con potencias enteras no negativas de su variable. El coeficiente es el número que multiplica cada potencia. Expandir (a + b)^n significa multiplicar n veces el binomio; no equivale a a^n + b^n.

El binomio de Newton organiza esa expansión: el término de índice k es C(n,k)·a^(n−k)·b^k, para k desde 0 hasta n. C(n,k) = n!/[k!(n−k)!], donde n! = n(n−1)…1 y 0! = 1. Las filas de coeficientes para n = 2, 3 y 4 son 1,2,1; 1,3,3,1; y 1,4,6,4,1. Cada fila puede construirse sumando vecinos de la anterior y colocando 1 en los extremos.

Si el segundo término es negativo, inclúyelo con su signo antes de elevarlo: (x − 2)^3 usa b = −2. Las potencias impares de −2 son negativas y las pares positivas.

El residuo se obtiene evaluando

Al dividir un polinomio P(x) entre x − a existe una identidad P(x) = (x − a)Q(x) + r, con residuo constante r. Al sustituir x = a, el producto desaparece: r = P(a). Éste es el teorema del residuo. Permite calcular r sin desarrollar toda la división.

El teorema del factor afirma que x − a es factor de P exactamente cuando P(a) = 0. Entonces a es una raíz del polinomio. Si el divisor es x + c, escríbelo como x − (−c): debes evaluar en −c, no en c. Un residuo distinto de cero no es un error de división; significa que ese divisor no es factor.

Comprobar una división y continuar factorizando

La división sintética por x − a utiliza los coeficientes de P en orden descendente, incluidos ceros para potencias ausentes. Baja el primer coeficiente; multiplícalo por a y súmalo al siguiente; repite. El último resultado es el residuo y los anteriores son los coeficientes del cociente.

Siempre puedes comprobar mediante P(x) = (x − a)Q(x) + r. Una raíz conocida reduce el grado: si r = 0, continúa factorizando el cociente. Encontrar una raíz de un polinomio cúbico no significa haber encontrado todas; una cuadrática restante puede aportar dos raíces más, contando multiplicidad.

Sigue el razonamiento

(x + 2)^3 = x³ + 3x²·2 + 3x·2² + 2³ = x³ + 6x² + 12x + 8.

En (x − 1)^4 se usa la fila 1,4,6,4,1 y potencias de −1: x⁴ − 4x³ + 6x² − 4x + 1.

Sigue el razonamiento

Para P(x) = x³ − 3x + 1 y divisor x − 2, P(2) = 8 − 6 + 1 = 3. El residuo es 3 y x − 2 no es factor.

Para P(x) = x² − x − 6, P(−2) = 4 + 2 − 6 = 0: x + 2 sí es factor.

1. ¿Cuál es la expansión de (x + 1)³?

1. x³ + 2x² + 2x + 1
2. x³ + 1
3. x³ + 3x² + 3x + 1
4. 3x + 3

2. ¿Cuál es el residuo de dividir P(x) = x² + 2x + 3 entre x − 1?

1. 0
2. 3
3. 2
4. 6

3. Para dividir x³ + 2x − 1 sintéticamente, ¿qué lista de coeficientes corresponde?

1. 1, 0, 2, −1
2. 1, 2, −1
3. 3, 0, 1, 0
4. 1, 2, 0, −1